Conectividad y cohomología de un esquema.

Hay muchos subesquemas cerrados de $\Bbb P^n_k$que están conectados pero no tienen $\mathcal{O}_Y(Y)=k$. Por ejemplo, $\Bbb P^n_k$siempre tiene subesquemas cerrados isomorfos a $\operatorname{Spec} k[x]/(x^r)$para cualquier $r\geq 0$, y cuando $k$no es algebraicamente cerrado, también tiene subesquemas cerrados isomorfos a $\operatorname{Spec} F$para $F$una extensión de campo finito de $k$si $F$puede ser generado por como máximo $n$elementos.

El criterio cohomológico correcto para determinar si algún espacio localmente anillado es desconectado es si $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)$tiene idempotentes no triviales. Esto se explica con total generalidad aquí , por ejemplo, y no debería ser tan difícil ver cuál es la correspondencia en nuestro caso: dado $Y=Y_1\sqcup Y_2$la función que toma el valor $1$en $Y_1$y $0$en $Y_2$es un idempotente, mientras que cualquier función idempotente solo puede tomar los valores $0$y $1$, por lo que el mapa de $\Bbb A^1_k$dada por las particiones de función $Y$en dos subconjuntos abiertos.

En su caso particular con un subesquema cerrado de $\Bbb P^n_k$, tendrás que $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)$es un k de dimensión finita$k$-álgebra que por la teoría general de tales cosas se descompone como un producto finito de anillos locales artinianos, por lo que es suficiente en su caso comprobar que $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)$es local