¿Cómo construir tal esquema?

Es un ejercicio en el libro de Wedhorn:

Dejar k sea ​​un campo algebraicamente cerrado. Dar un k -esquema X tal que:

  1. hay un morfismo F : A k 1 → X que es homeomorfo en el espacio topológico.

  2. oscuro ⁡ T X X = 1 en absoluto excepto en uno X ∈ X .

  3. X no se reduce.

Yo he tratado k [ X , Y , Z ] / ( X 2 + Y 3 , Z 2 ) . En este caso, podemos calcular su jacobbiano y ver que el espacio tangente tiene dimensión 3 en 0 pero 2 en otra parte. pero en el caso k [ X , Y ] / ( X 2 − Y 3 ) cumple todas menos la condición 3.

Mi idea es: dado que necesitamos obtener un punto "especial", podemos construir una curva que sea singular en un solo punto. (En los casos anteriores X 2 − Y 3 es la curva que necesito). Pero no sé cómo modificarlo para que satisfaga todas las condiciones. ¿Podrías ayudarme a lograrlo? ¿O podrías dar un ejemplo directamente? ¡Gracias!

¿Qué has probado? ¿Ha podido encontrar ejemplos que satisfagan algunas de las condiciones, pero tal vez no todas? ¿Tiene un ejemplo que cree que funciona pero necesita ayuda para comprobarlo?
@KReiser ¡Gracias por el recordatorio! He agregado lo que he intentado en la pregunta.
@Richard, ¿no puedes simplemente tomar Especificaciones ⁡ k [ X , y ] / ( ( y 2 − X 3 ) 2 ) que claramente no se reduce...
un problema menor con lo anterior será la estipulación de que carbonizarse ⁡ ( k ) ≠ 2 , 3

Respuestas (1)

Esperemos que esto funcione.

Considerar k [ X , y ] / ( X y , y 2 ) .

El punto no reducido es el origen. es geométricamente el X -eje con solo el origen engrosado.

Hay un morfismo de reducción. k [ X , y ] / ( X y , y 2 ) → k [ X ] dado por matar el ideal nilpotente ( y ) . Esto induce un morfismo A k 1 → Especificaciones ⁡ k [ X , y ] / ( X y , y 2 ) que debe ser un isomorfismo topológico.

el jacobiano, j ( X y , y 2 ) , se da como

j ( X y , y 2 ) = ( y X 0 2 y ) : k 2 → k 2 .

Todos los puntos cerrados se encuentran a lo largo de la X -eje de modo que en todos los puntos que no sean el origen el rango de la matriz es 1 y en el origen el rango es 0 .

Nótese que no hay requisitos característicos en k .

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