Potenciales dependientes del tiempo en mecánica cuántica

Hay varios métodos, y varias razones.

La separación de variables no es

El método de "separación de variables" es un nombre inapropiado en este contexto exacto. Lo que realmente significa la separación de variables en la mecánica cuántica es que resuelves el problema de valores propios para el operador lineal del hamiltoniano, y esto da la solución general por superposición. Se puede hacer formalmente mediante una separación de variables, pero la clasificación matemática de la técnica de funciones propias/valores propios está bajo álgebra lineal y análisis funcional. La separación de variables es un truco formal que también funciona para algunas ecuaciones no lineales, para encontrar soluciones especiales, pero en el contexto del álgebra lineal, es una teoría profunda, no un truco formal, por lo que no es bueno combinar los dos métodos.

Cuando tienes la ecuacion

$$\partial_t \psi = A\psi$$

donde A es un operador lineal, el problema de valor propio da una base donde se resuelve la ecuación (para todo A diagonalizable), porque los coeficientes de la base propia simplemente se mueven de acuerdo con el valor propio.

El método de separación de variables solo es significativo e interesante (aparte de ser equivalente a la base propia) para ecuaciones no lineales , donde la interpretación anterior no existe, pero a veces aún se pueden encontrar soluciones de productos de todos modos. Por ejemplo, para la ecuación

$${(\partial_x\phi)^2\over \phi} + (x^2+a^2)\partial_x^2 \phi = \partial_t^2 \phi$$

Que se reduce por separación de variables, pero esta reducción no tiene una interpretación de valor propio lineal.

Soluciones exactas

No tiene que usar la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, puede encontrar una solución exacta, como en el caso de una partícula en el campo de fuerza constante dependiente del tiempo.

$$V(t,x) = F(t)x$$

Lo cual se puede resolver mediante un impulso apropiado dependiente del tiempo del SE

O para una partícula en cierto potencial cuadrático dependiente del tiempo

$$V(x,t) = A(t) x^2$$

Que se puede resolver mediante integrales de trayectoria (al menos formalmente, y para ciertas elecciones de A(t)).

También puedes resolver exactamente

$$V(x,t)= C(t)\delta(x)$$ $$V(x,t)= A(t) x$$ $$V(x,t)= B(t) x^2$$ $$V(x,t) = A(t) x + B(t) x^2$$

Y si eres fastidioso, puedes resolver el potencial de paso con un paso dependiente del tiempo, superposiciones de funciones delta dependientes del tiempo.

Pared dura móvil

Daré la solución explícita de uno de ellos: la pared dura móvil. Una onda de Schrödinger con masa m y cantidad de movimiento k hacia la derecha golpea una pared dura (un paso de potencial infinito) que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. ¿Qué sucede?

La solución es una superposición de onda entrante y reflejada donde la onda reflejada tiene un momento -k+2mv y la superposición se desvanece en fase en la ubicación de la pared. Esto se debe a la invariancia de Galileo --- el potencial se reduce a un paso duro cuando se impulsa galileano a un marco que se mueve junto con la pared.

La solución general es la superposición de estas ondas reflejadas, y no es más que la solución potenciada del problema inmóvil.

El potencial lineal constante se resuelve transformándose a un marco que aumenta con una velocidad que aumenta linealmente con el tiempo, lo que hace que el SE sea libre. Si el parámetro de impulso se convierte en una función arbitraria del tiempo, resuelve el potencial lineal.

Aproximación súbita y adiabática

También puede resolver exactamente problemas de cambio repentino, donde el potencial pasa repentinamente de una forma a otra (este es el conocido ejemplo de la aproximación repentina) y problemas adiabáticos (donde el potencial varía muy lentamente en el tiempo). El caso adiabático es el más interesante, porque lleva estados propios a estados propios sin problemas, excepto cuando hay colisiones de valores propios.

Métodos numéricos

Finalmente, puedes resolver el SE numéricamente. Colocas el SE en una celosía, con celosía x espaciado$\epsilon$, y espacio de tiempo de celosía$\epsilon^2$(esto es muy importante en una discretización ingenua, de lo contrario, tendrá problemas de estabilidad, vea una referencia sobre ecuaciones rígidas).

Reemplazas el laplaciano con la suma de los vecinos menos el valor central y discretizas el potencial. Entonces la solución es un problema numérico estándar.

La teoría de la perturbación dependiente del tiempo es la integral de trayectoria discreta

La serie de perturbaciones dependiente del tiempo es simplemente la forma que toma la integral de trayectoria de Feynman para un espacio de estado discreto, como los valores propios de un hamiltoniano ya resuelto. Como tal, es solo una solución formal del problema, una formulación en un lenguaje equivalente, con truncamientos correspondientes a cada orden o perturbaciones, que son equivalentes a reducir las potencias del potencial en una expansión de la dispersión integral de la trayectoria de una partícula.

Para ver esto, considere los pasos para derivar la integral de trayectoria: se transforma a una base de impulso y avanza en el tiempo por propagación libre, luego a una base de posición y avanza en el tiempo por una fase para el potencial. Para niveles de energía discretos, la teoría de la perturbación dependiente del tiempo avanza en el tiempo usando el$H_0$hamiltoniano, luego avanza con la interacción hamiltoniana.

La equivalencia entre la teoría de la perturbación dependiente del tiempo y la integral de la trayectoria del estado discreto está dada (implícitamente) por Feynman en un oscuro artículo matemático de principios de la década de 1950, donde desarrolla una notación idiosincrásica para la teoría de la perturbación dependiente del tiempo. No agrega nada al formalismo, es solo un buen punto de vista.