Relación entre la teoría de la perturbación y la expansión de Taylor en QM

Sí. Suponer

$$H=H_0+\epsilon H_1=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right)+ \epsilon\left(\begin{array}{cc}a & b \\ b & c\end{array}\right)$$ dónde $a, b$y $c$son reales por simplicidad. Puede calcular fácilmente que los valores propios exactos son $$\lambda_\pm = \frac{1}{2}\left(A + B +\epsilon (a+ c) \pm \sqrt{(A-B)^2+\epsilon(A-B)(a-c)+\epsilon^2((a-c)^2+4b^2)}\right)\, .$$ Expandiendo, digamos, el primer valor propio en potencias de pequeño $\epsilon$ y suponiendo que AB es "lo suficientemente grande" para factorizarlo a partir de la raíz cuadrada da $$A+ a \epsilon +\epsilon ^2 \frac{b^2 }{A-B}$$ que es solo $E_1^{0}+\epsilon \langle 1\vert H_1\vert 1\rangle + \epsilon^2 \frac{\vert \langle 1\vert H_1\vert 2\rangle\vert^2}{E^{0}_1-E^{0}_2}$como "predice" la teoría de la perturbación.

Supongo que lo que hiciste debe ser básicamente equivalente a lo anterior. Este es un buen ejercicio porque también puedes ver por qué las energías imperturbables deben ser tales que$A\ne B$: si$A=B$entonces$H_0$es básicamente la matriz unitaria y los vectores propios serán los de$H_1$ya que cualquier transformación de semejanza no afectará a un múltiplo de la matriz unitaria. Además, el caso$A=B$resulta en una simplificación en el discriminante, que ya no contiene$A$o$B$, haciendo la suposición de la diferencia$A-B$inválido.

Esto se puede generalizar a cualquier matriz hermítica. La dificultad es que no es tan fácil (y de hecho en general imposible) escribir una forma cerrada para los valores propios, pero el$2\times 2$ejemplo muestra que, si pudiera, debe recuperar término por término los resultados de la teoría de la perturbación.

Después de todo, los valores propios no pueden depender de cómo los calcule, es decir, exactamente primero y luego expanda, expanda primero y luego agregue los términos.

Estaba pensando, si escribimos la matriz m=2 por 2 matriz. Entonces el$\lambda H'$(que se trató como desconocido), podría pensarse como la combinación lineal de$\lambda(H^1+\lambda H^2 + ...)$.

En un sentido$\lambda$aquí estuvo$x$en la expansión de Taylor, y la secuencia de$H^1+\lambda H^2 + ...$, si pensó en cada uno de los cuatro índices, en realidad eran "independientes" entre sí. Por lo tanto, prácticamente obtuvo cuatro secuencias independientes para la expansión de Taylor de todas las funciones posibles en los cuatro lugares de la matriz. donde la combinación de$\psi^j_n$y$E^j_n$fueron la función resultante y los estados de energía para cada$\lambda^j$el poder de (Aviso$\psi^j_n$y$E^j_n$fue la suma de todos los desarrollos de Taylor para la solución de$H^i$en cada$j$estados y luego un rango de suma doble de$n=0$hasta el infinito.)

En conclusión, hubo dos conjuntos de expansión de Taylor. Uno para$H^i$donde se representó la combinación de desarrollos de Taylor para$m^2$numero de lugares Dos fue la expansión de Taylor de$\psi^{ij}$y$E^{ij}$para cada$H^i$operador.

Fíjese en los límites de la expansión taylr, que se solucionó con la suposición física de que el sistema no explotará (singularidades) ni discontinuidades, y suave significaba que siempre podía obtener uno.

Además, para ser más claro, sospecho que$E^j_n$en griffiths era en realidad la suma de todos$j$estados de todos$E^{ij}_n$dónde$E^{0j}_n$se excluyó el caso base, al igual que el$\psi_n^{j}$.