Campos eléctricos en distribución de carga continua

Su pregunta es interesante, pero creo que hay un error en su razonamiento. Sí, si observa detenidamente un punto dentro de una distribución de carga continua, habrá "cargas" arbitrariamente cerca del punto, pero el valor de esta carga eléctrica también es arbitrariamente pequeño. Esto se debe a que las distribuciones de carga continua están dadas por densidades , no por cargas puntuales. La carga total viene dada por una integral de volumen:

Si toma un volumen muy pequeño$V$, la carga$Q$es igualmente pequeño. Una forma más útil de verlo es con la ley de Gauss.

Dónde$S$es el límite de la superficie$V$, y$Q_V$es la carga total dentro de$V$. Siempre que la distribución$\rho(\mathbf{x})$es finito ( es decir , no infinito) puede usar esto para mostrar que$\mathbf{E}$es finito también (usas el teorema de la divergencia y la definición de$Q$, arriba).

Hay algunos casos de distribuciones de carga no finitas relevantes ( por ejemplo , capas dipolares), pero el caso que propone de una esfera cargada uniformemente tiene un finito$\rho$y por lo tanto$\mathbf E$es también

Uno posiblemente podría argumentar que en cualquier punto dado, las cargas infinitamente cercanas están rodeadas uniformemente en todas partes y, por lo tanto, cancelan sus efectos, pero en la superficie de la esfera, la uniformidad de las cargas infinitamente cercanas no está presente y, por lo tanto, aquí debemos tener un campo infinito, ¡pero ese no es el caso también!

¿Por qué crees que la uniformidad de distribución de carga se rompe en la superficie de la esfera? Cuando decimos que una esfera sólida tiene carga uniforme, queremos decir que cada escudo infinitesimalmente delgado de esta esfera tiene la misma densidad de carga que la esfera entera. Sin embargo, los efectos mutuos de los campos de carga que probablemente tienden a cancelarse entre sí ya no son simétricos en el escudo exterior (superficie de la esfera).

La respuesta de @SV es correcta cuando no tenemos carga puntual sino densidades uniformes. Sin embargo, recuerde que la carga está cuantizada y que no existe realmente una distribución de carga continua. La continuidad es una buena aproximación para modelar estas cargas cuantificadas ubicadas muy cerca unas de otras para un fácil cálculo. Su confusión es más válida si consideramos casos cuantificados reales. Es decir, si una esfera sólida neutra está cargada por, digamos,$10^{23}$número de electrones, según su sospecha, el campo eléctrico muy cercano a cada electrón ubicado (al menos) en la superficie de esta esfera es muy grande en función de la fuerza de Coulomb. Se dice que el radio del electrón es menor que$10^{-16}\space m$, y por lo tanto, para un punto con una distancia del orden de$r\approx 10^{-15}\space m$fuera del electrón, el campo de Coulomb implica:

que es un gran número. Creo que incluso si consideramos al electrón como una diminuta esfera sólida con una densidad de carga uniforme, dudo mucho que pueda afectar tangiblemente el gran orden de$E=10^{21} \space V/m$. Esto probablemente significa que cerca de las cargas cuantificadas en una esfera sólida cargada uniformemente , nuestras aproximaciones no son lo suficientemente buenas.

Su confusión también puede surgir para la distribución masiva uniforme . En este caso, a diferencia del campo eléctrico, la ley de gravitación de Newton no implica gravitaciones con valores muy cercanos a un electrón de, digamos, una esfera sólida. La gravitación a una distancia del orden de$r\approx 10^{-15}\space m$fuera del electrón es:

que es un número muy pequeño y puede despreciarse en comparación con la gravitación total dentro de la esfera. Sin embargo, como se mostró anteriormente, ¡este número no es tan pequeño para los campos eléctricos!

Creo que tener en cuenta la no localización de algunas partículas fundamentales tampoco puede resolver este problema. Un solo protón o, en general, los núcleos son lo suficientemente masivos como para localizarlos fácilmente. Sin embargo, si un protón está encerrado por una superficie gaussiana esférica con un radio muy cercano al radio del protón ($\approx 10^{-15}\space m$), el campo eléctrico es extremadamente grande:

¡Esta pregunta es muy buena y, al menos para mí, muy desafiante!

Para una esfera sólida cargada: en realidad tenemos dos opciones para encontrar las distribuciones de carga continua, es decir, un disco y una esfera hueca. Si la densidad ($\rho$) varía, usamos esfera hueca ya que es conveniente usarla. Sea la densidad una función de$r$y$\rho=\rho_0 r$dónde$r$es la distancia desde el centro y$\rho_0$=cantidad positiva entonces

integrando ambos lados con límites que se extienden desde$0$a$R$: