Campo eléctrico en el límite de una distribución de carga continua

En Electricidad y magnetismo de Purcell y Morin, 3.ª edición , se afirma que la magnitud del campo eléctrico en el límite de una distribución de carga continua es finita (suponiendo que la distribución de carga es finita en todas partes). Tengo una pregunta similar a la que se hace aquí, pero no creo que mi pregunta haya sido respondida por completo.

ecuación ( 1.22 ) :

(1.22) mi → ( X , y , z ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ   ( X ′ , y ′ , z ′ )   r ^   d X ′ , d y ′ , d z ′ r 2 .

Mirando la Ecuación (1.22), puedo ver cómo, al usar coordenadas esféricas, la r 2 en el denominador de la Ecuación (1.22) se cancela y, en consecuencia, la integral no se vuelve infinita cuando r = 0 . Sin embargo, no veo cómo realizar la misma integral usando coordenadas cartesianas no explotaría. Los límites de integración para este ejemplo contendrían

( X , y , z ) = ( 0 , 0 , 0 )
haciendo el denominador 0. No hay r 2 , al usar coordenadas cartesianas, para cancelar la r 2 en el denominador. A mi entender, una integral no puede ser finita en coordenadas esféricas e infinita en cartesianas. Entonces, ¿cómo es que la integral cartesiana es finita?

¿Su referencia menciona los valores principales de Cauchy?
no lo hace, por desgracia
El denominador debe ir a cero en cualquier sistema de coordenadas que uses, así que creo que cometiste un error en lo que hiciste con las coordenadas esféricas. El integrando singular siempre estará ahí, pero usando el valor principal de Cauchy, los infinitos de los lados opuestos del punto donde está calculando se cancelarán. Mi respuesta a la pregunta similar no fue muy detallada y no recibió votos. Una respuesta más completa probablemente sería demasiado larga para aquí y requeriría una mayor familiaridad con MathJax que la que tengo.

Respuestas (1)

Si usa la coordenada cartesiana, debe recordar la definición de "integral impropia". Déjame darte un ejemplo más simple aquí, considera

∫ 0 1 1 X d X ,

el integrando tiende a infinito como X → 0 , sin embargo, la "integral impropia" lo define como un límite, es decir,

∫ 0 1 1 X d X = límite ϵ → 0 ∫ ϵ 1 1 X d X = límite ϵ → 0 2 X | ϵ 1 = 2 ,

por lo tanto, la integral aún le dará un valor finito.

Tenga en cuenta que si la singularidad es aún más fuerte, puede considerar el valor del principio de Cauchy. Pero este integrando tiene el tipo de singularidad. 1 / r 2 , en 3D, esta integral es débilmente singular, por lo que probablemente ni siquiera necesite usar el valor principal.

Su ejemplo tiene una singularidad mucho más débil que la pregunta. Para hacer la integral en la pregunta, seguramente se necesitará el valor del principal de Cauchy.
Tal vez. Su integral está en 3D, una dimensión superior debilitará la singularidad.
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