Confundido con notación de 4 vectores y 4 derivadas

Question

Confundido con notación de 4 vectores y 4 derivadas

shiki ryogi

Tengo muchos problemas para descubrir cuáles son las reglas para hacer álgebra y cálculo con 4 vectores. Este ejemplo ilustrará uno de mis problemas:

El lagrangiano para un campo escalar real es

L = \frac{1}{2} η^{m v} \partial_{m} ϕ \partial_{v} ϕ - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} .

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2.$ Al tratar de resolver la ecuación de Euler-Lagrange no sé cómo evaluar

(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)})

$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})$ . Estas son las ideas que tengo:

1.

(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) = \frac{1}{2} η^{m v} \partial_{v} ϕ = \frac{1}{2} \partial^{m} ϕ .

$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi=\frac{1}{2}\partial^{\mu}\phi.$

2. El lagrangiano se puede escribir como $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ , entonces

(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) = \frac{1}{2} \partial^{m} ϕ .

$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}\partial^{\mu}\phi.$

3. Pero el lagrangiano también se puede escribir como $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^{\nu}\phi\partial_{\nu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ , entonces, en este caso, ¿cómo lo evalúo? ¿cambio? $(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})$ a $(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}\phi)})$ ?

4. Podemos escribir el Lagrangiano como $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$ , por lo que en este caso tenemos

(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) = \frac{1}{2} 2 (\partial_{m} ϕ) = \partial_{m} ϕ .

$(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)})=\frac{1}{2}2(\partial_{\mu}\phi)=\partial_{\mu}\phi.$

Ninguno de estos es correcto $(\partial^{\mu}\phi)$ ! ¿Cómo obtengo la respuesta correcta? ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Hay algún recurso donde me puedan ayudar específicamente con tales problemas?

Respuestas (1)

Confundido con notación de 4 vectores y 4 derivadas

Vicente Thacker · Answer 1

Parece que tiene algunos problemas con la notación de índice y la convención de suma de Einstein, por lo que le recomiendo que los repase.

En primer lugar, el $\mu$ en $\mathcal{L}$ es un índice ficticio, mientras que el $\mu$ en $\partial/\partial\left(\partial_\mu\phi\right)$ es un índice vivo. No puedes escribirlos a ambos como $\mu$ o de lo contrario se encontrará con problemas. Por ejemplo, si vas a utilizar $\mu$ en $\partial/\partial\left(\partial_\mu\phi\right)$ , debe cambiar los índices ficticios en $\mathcal{L}$ a algo como

L = \frac{1}{2} η^{ρ λ} \partial_{ρ} ϕ \partial_{λ} ϕ - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2}

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\rho\lambda}\partial_{\rho}\phi\partial_{\lambda}\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2$

En segundo lugar, $\partial^\mu \phi$ no es independiente de $\partial_\mu\phi$ , por lo que no puede tratarlo como una constante en su segundo punto. Además, en su cuarto punto, no es posible que tenga $\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = \left(\partial_\mu\phi\right)^2$ ya que tiene un índice ficticio a la izquierda pero un índice en vivo a la derecha.

Por último, la derivada de un componente con respecto a otro componente del mismo objeto es una función delta. Por ejemplo,

\frac{\partial v_{1}}{\partial v_{m}} = d_{m}^{1}

$\frac{\partial v_1}{\partial v_\mu} = \delta^1_\mu$ ya que los componentes son linealmente independientes. Entonces puedes aplicar esto a la expresión expandida

\partial_{μ} ϕ \partial^{μ} ϕ = - \partial_{0} ϕ \partial_{0} ϕ + \partial_{1} ϕ \partial_{1} ϕ + \partial_{2} ϕ \partial_{2} ϕ + \partial_{3} ϕ \partial_{3} ϕ

$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = -\partial_0\phi \partial_0\phi+\partial_1\phi \partial_1\phi+\partial_2\phi \partial_2\phi+\partial_3\phi \partial_3\phi$ . Alternativamente, si está lo suficientemente seguro, también podría aplicar la regla del producto directamente a

η^{ρ λ} \partial_{ρ} ϕ \partial_{λ} ϕ

$\eta^{\rho\lambda}\partial_{\rho}\phi\partial_{\lambda}\phi$ .

Espero que esto aclare (al menos parte de) tu confusión.

Explícitamente, por la regla del producto $\frac{\partial}{\partial (\partial_{m} ϕ)} (\frac{1}{2} η^{ρ λ} \partial_{ρ} ϕ \partial_{λ} ϕ) = \frac{1}{2} η^{ρ λ} (d_{ρ}^{m} \partial_{λ} ϕ + \partial_{ρ} ϕ d_{λ}^{m}) = \frac{1}{2} (η^{m λ} \partial_{λ} ϕ + η^{ρ m} \partial_{ρ} ϕ) = \partial^{m} ϕ .$ $\tfrac{\partial}{\partial(\partial_\mu\phi)}(\tfrac12\eta^{\rho\lambda}\partial_\rho\phi\partial_\lambda\phi)=\tfrac12\eta^{\rho\lambda}(\delta_\rho^\mu\partial_\lambda\phi+\partial_\rho\phi\delta_\lambda^\mu)=\tfrac12(\eta^{\mu\lambda}\partial_\lambda\phi+\eta^{\rho\mu}\partial_\rho\phi)=\partial^\mu\phi.$
Su respuesta y el comentario de JG ayudaron mucho. Ahora puedo ver cómo obtener la respuesta correcta. Sin embargo, tengo una pregunta más. yo se que $\partial_{\mu}x^{\mu}$ es, como dijiste $\mu$ aquí hay un índice ficticio, así que tengo que expandirlo. Pero que es $\partial_{\mu}\phi$ ? ¿Es el 4-vector? $(\partial_{t}\phi,\partial_{x}\phi,\partial_{y}\phi,\partial_{}\phi)$ o simplemente una representación de las 4 posibles derivadas parciales? Mi libro de texto define $\partial_{\mu}$ como el operador $(\partial_{t},\partial_{x},\partial_{y},\partial_{z})$ .
@ColourfulSpacetime Es una representación de las 4 derivadas parciales posibles, una en cada dirección de coordenadas. La colección de derivadas parciales forman los componentes del campo covector (o de una forma) $\text{d}\phi = \partial_\mu\phi \text{d}x^\mu$ . Tenga en cuenta que esto solo funciona para escalares; para tensores necesitarás usar la derivada covariante.

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shiki ryogi

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Vicente Thacker

JG

shiki ryogi

Vicente Thacker

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