Reglas de Feynman a partir de la interacción Lagrangiana con tensor electromagnético (vértice)

Question

Reglas de Feynman a partir de la interacción Lagrangiana con tensor electromagnético (vértice)

fallatrolol

Actualmente estoy estudiando para mi examen QFT y en particular aprendiendo los métodos para leer las reglas de Feynman directamente del Lagrangiano.

Sin embargo, todavía no estoy seguro de cómo tratar los términos derivados en la interacción Lagrangiana en casos complicados.

En este ejemplo, la interacción Lagrangiana está acoplando un campo (pseudo)escalar real al campo de fotones, suponiendo que representa el acoplamiento efectivo inducido por el Loop de partículas escalares complejas.

La interacción efectiva Lagrangiana está dada por

L_{i norte t, mi F F} = - \frac{{gramo}_{mi F F}}{4} ϕ F^{m v} F_{m v}

$\mathcal{L}_{int,eff}=-\frac{g_{eff}}{4}\phi F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ además del QED y el lagrangiano de campo escalar. El vértice resultante es:

Ahora, mi ansatz general ha sido descomponer la parte que contiene derivadas básicamente

F^{m v} F_{m v} = (\partial^{m} A^{v} - \partial^{v} A^{m}) (\partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m})

$F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=(\partial^\mu\,A^\nu-\partial^\nu\,A^\mu)(\partial_\mu\,A_\nu-\partial_\nu\,A_\mu)$ y yendo por la habitual descomposición de Fourier al reemplazo

\partial_{m} \to i {pag}_{m, i}

$\partial_\mu \rightarrow ip_{\mu,i}$ y multiplicando con

2!

$2!$ para la intercambiabilidad de los fotones salientes. Esto da ingenuamente los siguientes términos:

{pag}_{1}^{m} {pag}_{m, 1} + {pag}_{1}^{m} {pag}_{v, 2} + {pag}_{2}^{v} {pag}_{m, 1} + {pag}_{2}^{v} {pag}_{v, 2} = 2 {pag}_{1} \cdot {pag}_{2} + {pag}_{1}^{m} {pag}_{v, 2} + {pag}_{2}^{v} {pag}_{m, 1}

$p_1^\mu p_{\mu,1}+p_1^\mu p_{\nu,2}+p_2^\nu p_{\mu,1}+p_2^\nu p_{\nu,2} = 2p_1\cdot\,p_2 +p_1^\mu p_{\nu,2}+p_2^\nu p_{\mu,1}$

Lo que solo conduce casi al resultado deseado. Un problema principal es que esto causa un desorden en el índice que apenas parece prometedor.

¿Qué me estoy perdiendo? ¿Tal vez no puedo simplemente lanzar la derivada en el campo de fotones en Expresión co y contravariante? Extrayendo un factor $g^{\mu\nu}$ no ayuda si no cometí un error algebraico.

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MannyC · Answer 1

Al refundir el vértice lagrangiano en el espacio de Fourier, se tiene (ignorando $-g_{eff}/4$ )

- ϕ ({pag}_{3}) ({pag}_{1}^{m} A^{v} ({pag}_{1}) - {pag}_{1}^{v} A^{m} ({pag}_{1})) ({pag}_{2 m} A_{v} ({pag}_{2}) - {pag}_{2 v} A_{m} ({pag}_{2})),

$-\phi(p_3) \left(p_1^\mu A^\nu(p_1) - p_1^\nu A^\mu(p_1)\right)\left(p_{2\mu} A_\nu(p_2) - p_{2\nu} A_\mu(p_2)\right)\,,$ que mediante un simple reetiquetado puede reformularse como

- 2 ϕ ({pag}_{3}) {pag}_{1}^{m} A^{v} ({pag}_{1}) ({pag}_{2 m} A_{v} ({pag}_{2}) - {pag}_{2 v} A_{m} ({pag}_{2})) =

$-2\,\phi(p_3) \,p_1^\mu A^\nu(p_1)\left(p_{2\mu} A_\nu(p_2) - p_{2\nu} A_\mu(p_2)\right) =$

= - 2 ϕ ({pag}_{3}) (({pag}_{1} \cdot {pag}_{2}) A^{v} ({pag}_{1}) A_{v} ({pag}_{2}) - {pag}_{1 m} {pag}_{2 v} A^{v} ({pag}_{1}) A^{m} ({pag}_{2}))

$= -2\,\phi(p_3) \,\left((p_1\cdot p_2)\, A^\nu(p_1)A_\nu(p_2) - p_{1\mu} p_{2\nu} \, A^\nu(p_1)A^\mu(p_2)\right)$

= - 2 ϕ ({pag}_{3}) (({pag}_{1} \cdot {pag}_{2}) {gramo}_{ρ σ} A^{σ} ({pag}_{1}) A^{ρ} ({pag}_{2}) - {pag}_{1 ρ} {pag}_{2 σ} A^{σ} ({pag}_{1}) A^{ρ} ({pag}_{2})) .

$= -2\,\phi(p_3) \,\left((p_1\cdot p_2)\, g_{\rho\sigma} A^\sigma(p_1)A^\rho(p_2) - p_{1\rho} p_{2\sigma} \, A^\sigma(p_1)A^\rho(p_2)\right)\,.$ En este punto solo tomamos la derivada funcional

\frac{(- i)^{3} d^{3}}{d ϕ ({pag}_{3}) d A^{m} ({pag}_{2}) d A^{v} ({pag}_{1})} .

$\frac{(-\mathrm{i})^3\,\delta^3}{\delta\phi(p_3)\,\delta A^\mu(p_2)\,\delta A^\nu(p_1)}\,.$ Cada término, siendo cuadrático en

A

$A$ , obtiene un factor dos, resultando en

= - 4 i (({pag}_{1} \cdot {pag}_{2}) {gramo}_{m v} - {pag}_{1 m} {pag}_{2 v}) .

$= -4\mathrm{i}\,\left((p_1\cdot p_2)\, g_{\mu\nu} - p_{1\mu} p_{2\nu} \right)\,.$ Cuál es el resultado deseado.

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fallatrolol

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MannyC

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