La variación de la densidad lagrangiana bajo una transformación infinitesimal de Lorentz

Question

La variación de la densidad lagrangiana bajo una transformación infinitesimal de Lorentz

Física
teorema de noethers
relatividad especial
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo
deberes-y-ejercicios

usuario24999

Estoy tratando de presentarme a QFT siguiendo estas conferencias de David Tong. Empecé con la lección 1 (Teoría clásica de campos) y estoy tratando de probar que bajo una transformación infinitesimal de Lorentz de la forma

\begin{matrix} (1.49) & {Λ^{m}}_{v} = {d^{m}}_{v} + {ω^{m}}_{v}, \end{matrix}

$\tag{1.49} {\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu,$

dónde $\omega$ es antisimétrica, la variación de la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$ es

\begin{matrix} (1.53) & d L = - \partial_{m} ({ω^{m}}_{v} X^{v} L) . \end{matrix}

$\tag{1.53} \delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L}).$

Usando $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)$ , he intentado computar $\delta\mathcal{L}$ usando directamente

\begin{matrix} (1.52) & d ϕ = - {ω^{m}}_{v} X^{v} \partial_{m} ϕ \end{matrix}

$\tag{1.52} \delta\phi=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\partial_\mu\phi$

[que obtuve anteriormente computando explícitamente $\phi(x)\to\phi(\Lambda^{-1}x)$ ], sin embargo, obtengo

d L = - \partial_{m} ({ω^{m}}_{v} X^{v} L) - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} {ω^{σ}}_{m} \partial_{σ} ϕ

$\delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi$ El término adicional surge cuando calculo

\partial_{m} (d ϕ) = - {ω^{σ}}_{v} [{d^{v}}_{m} \partial_{σ} ϕ + X^{v} \partial_{m σ} ϕ] = - {ω^{σ}}_{m} \partial_{σ} ϕ - {ω^{σ}}_{v} X^{v} \partial_{m σ} ϕ

$\partial_\mu(\delta\phi)=-{\omega^\sigma}_\nu\left[{\delta^\nu}_\mu\partial_\sigma\phi+x^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\right]=-{\omega^\sigma}_\mu\partial_{\sigma}\phi-{\omega^\sigma}_\nu{x}^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi$

[porque estoy asumiendo $\partial_\mu(\delta\phi)=\delta(\partial_\mu\phi)$ ]; Pensé en deshacerme de él simplemente reemplazando $\phi$ con $\partial_\sigma\phi$ en $(1.52)$ , sin embargo $\partial_\mu(\delta\phi)=\delta(\partial_\mu\phi)$ todavía debería aguantar, ¿no es así? También intenté usar (la expresión anterior a) 1.27 en las conferencias, es decir, que las derivadas del campo se transforman como

\begin{matrix} (1.26b) & \partial_{m} ϕ (X) \to {(Λ^{- 1})^{v}}_{m} \partial_{v} ϕ (Λ^{- 1} X), \end{matrix}

$\tag{1.26b} \partial_\mu\phi(x)\to{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x),$

pero todavía me sale (a la primera orden en $\omega$ ),

\begin{aligned} {(Λ^{- 1})^{v}}_{m} \partial_{v} ϕ (Λ^{- 1} X) & = ({d^{v}}_{m} - {ω^{v}}_{m}) \partial_{v} ϕ (X^{σ} - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ}) \\ = ({d^{v}}_{m} - {ω^{v}}_{m}) [\partial_{v} ϕ (X) - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ} \partial_{σ v} ϕ (X)] \\ = \partial_{m} ϕ - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ} \partial_{σ m} ϕ - {ω^{v}}_{m} \partial_{v} ϕ \end{aligned}

$\begin{align}{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\partial_\nu\phi(x^\sigma-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho)\\&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\left[\partial_\nu\phi(x)-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\nu}\phi(x)\right]\\&=\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi\end{align}$

Me resisto a la idea de que ${\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi=0$ , pero no entiendo lo que estoy haciendo mal.

Respuestas (2)

La variación de la densidad lagrangiana bajo una transformación infinitesimal de Lorentz

higgsss · Answer 1

Siempre que $\mathcal{L}$ es un escalar de Lorentz, la cantidad $\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_{\mu}\phi)$ tiene que llevar un índice superior. Desde $\mathcal{L}$ es una función de $\phi$ y $\partial_{\mu}\phi$ , el único objeto que puede dar tal índice es $\partial^{\mu}\phi$ . Por eso

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} \propto \partial^{m} ϕ .

$\begin{equation} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi)} \propto \partial^{\mu}\phi. \end{equation}$ Entonces,

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} ω^{σ}_{m} \partial_{σ} ϕ & \propto ω^{σ}_{m} \partial_{σ} ϕ \partial^{m} ϕ \\ = ω^{σ m} \partial_{σ} ϕ \partial_{m} ϕ \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi)} \omega^{\sigma}{}_{\mu}\partial_{\sigma}\phi \,&\propto \,\omega^{\sigma}{}_{\mu}\,\partial_{\sigma}\phi \,\partial^{\mu}\phi\\ &=\omega^{\sigma\mu} \partial_{\sigma}\phi\,\partial_{\mu}\phi\\ &=0. \end{split} \end{equation}$ La última expresión desaparece porque

\partial_{σ} ϕ \partial_{μ} ϕ

$\partial_{\sigma}\phi\,\partial_{\mu}\phi$ es simétrico bajo el intercambio de índices mientras que

ω^{σ μ}

$\omega^{\sigma\mu}$ es antisimétrico.

De hecho, no entiendo por qué Tong simplemente no escribió

d L = - ω^{m}_{v} X^{v} \partial_{m} L .

$\begin{equation} \delta \mathcal{L} = -\omega^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}. \end{equation}$ Después de todo,

L

$\mathcal{L}$ debe tener la misma regla de transformación que

ϕ

$\phi$ porque ambos son escalares de Lorentz. Se puede verificar la ecuación anterior observando que

d L = - \partial_{m} (ω^{m}_{v} X^{v} L) = - ω^{m}_{v} X^{v} \partial_{m} L - ω^{m}_{m} L,

$\begin{equation} \delta \mathcal{L} = - \partial_{\mu}(\omega^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}\mathcal{L}) = -\omega^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L} - \omega^{\mu}{}_{\mu}\mathcal{L}, \end{equation}$ y eso

ω^{m}_{m} = η_{m ρ} ω^{m ρ} = 0

$\begin{equation} \omega^{\mu}{}_{\mu} = \eta_{\mu\rho}\omega^{\mu\rho} = 0 \end{equation}$ porque

η_{μ ρ}

$\eta_{\mu\rho}$ es simétrico y

ω^{μ ρ}

$\omega^{\mu\rho}$ es antisimétrico.

De acuerdo, esto parece hacerlo, pero entonces es la forma correcta de hacerlo. $\partial_\mu\phi$ transforma (bajo una transformación infinitesimal de Lorentz) todavía como $\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^{\nu}}_\mu\partial_\nu\phi$ ?
¿Esto no se mantendrá si $\mathcal{L}$ ¿Entonces no es un escalar de Lorentz? La invariancia de Lorentz significa que la acción es un escalar de Lorentz, pero la densidad lagrangiana $\mathcal{L}$ podría no ser, ¿correcto?

dargscisyhp · Answer 2

¡Fresco! Estoy trabajando exactamente en lo mismo.

La forma en que probé esto fue desde $\mathcal{L}$ y $\phi$ ambos son escalares de Lorentz, deben tener la misma ley de transformación. Por lo tanto

d L = - ω_{v}^{m} X^{v} \partial_{m} L .

$\delta \mathcal{L} = - \omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}.$

Sin embargo, tenga en cuenta que

\partial_{m} (- ω_{v}^{m} X^{v} L) = - ω_{v}^{m} \partial_{m} X^{v} L - ω_{v}^{m} X^{v} \partial_{m} L .

$\partial_{\mu} \left( -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu} \mathcal{L} \right) = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \partial_\mu x^\nu\mathcal{L} - \omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}.$

El primer término del lado derecho de la ecuación es 0:

- ω_{v}^{m} \partial_{m} X^{v} L = - ω_{v}^{m} d_{m}^{v} L .

$-\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \partial_\mu x^\nu\mathcal{L} = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \delta_\mu^\nu \mathcal{L}.$

La expresion $\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \delta_\mu^\nu \mathcal{L}$ es la huella de $\omega$ , que es una matriz antisimétrica que es 0. Por lo tanto

\partial_{m} (- ω_{v}^{m} X^{v} L) = - ω_{v}^{m} X^{v} \partial_{m} L = d L .

$\partial_{\mu} \left( -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu} \mathcal{L} \right) = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}=\delta \mathcal{L}.$

Entonces la variación en la densidad lagrangiana es igual a una derivada total como nos propusimos probar con

F^{m} = - ω_{v}^{m} X^{v} L .

$F^\mu = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} x^{\nu} \mathcal{L}.$

\partial_{m} F^{m} = d L .

$\partial_\mu F^\mu = \delta \mathcal{L}.$

Soy bastante nuevo en esto, especialmente en esta desagradable manipulación de índices, así que si repasa mi lógica y encuentra que suena, hágamelo saber.

¡Gracias y ánimo!

Claro, sé cuál es el resultado correcto, sin embargo, mi pregunta es sobre el término adicional que surge al calcular directamente $\delta{L}=\frac{\partial{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial{L}}{\partial{(\partial_\mu\phi)}}\delta(\partial_\mu\phi)$

La variación de la densidad lagrangiana bajo una transformación infinitesimal de Lorentz

usuario24999

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higgsss

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higgsss

sam jaques

dargscisyhp

usuario24999

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