Corrientes conservadas para Lagrangian dadas por una traza

Question

Corrientes conservadas para Lagrangian dadas por una traza

Física
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo
deberes-y-ejercicios

mikis

Sea la densidad de Lagrange $\mathcal{L}$ ser dado por $\mathcal{L}=\mathrm{Tr}\left(\partial_\mu U^\dagger \partial^\mu U\right)$ , dónde $U=U(x)\in U(N)$ . Supongamos que hay dos matrices $A,B\in SU(N)$ y considerar la transformación $U(x)\rightarrow A^\dagger U(x)B$ . Uno puede comprobar fácilmente que $\mathcal{L}$ es invariante bajo tal transformación, por lo tanto, por el teorema de Nother existen corrientes conservadas $j_{A,B}$ depende de la elección de las matrices $A,B$ . Mi pregunta es ¿cómo derivar estas corrientes? Conozco la fórmula general dada en la demostración del teorema de Noether pero no sé cómo tratar las derivadas $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu U(x))}$ en este caso. Además, necesitamos obtener $\delta U(x)$ . Creo que el último se puede obtener usando la representación de $A,B$ , que están cerca de la unidad, por el exponente de generadores de álgebra de Lie apropiada.

Cosmas Zachos

Evidentemente, este es un problema de tarea trivial que su instructor le asignó para asegurarse de que comprenda los símbolos involucrados. ¿Te ayudaría escribir las matrices como sumas de los dos índices respectivos de las dos matrices respectivas U y su hc? Si las dos matrices están en U(N) , son expandibles alrededor de la identidad, A ~

1 1 + i a T

$1\!\!\!1 +iaT$ , por lo que entonces

δ U = i a T U

$\delta U= ia T U$ , etc... explotando la ciclicidad de la traza, ¿no tienes tu respuesta? Solo necesita apreciar lo que realmente significa la elegante notación quiral de Gursey.

mikis

Este es un ejercicio que encontré leyendo un libro sobre teoría de campos. Traté de expandir

A \sim 1 + i \sum_{j}^{N^{2} - 1} a_{j} T^{j}

$A\sim 1+i\sum_{j}^{N^2-1}a_j T^j$ , pero ahora veo que es suficiente para tomar

A \sim 1 + i a T

$A\sim 1+iaT$ como escribiste La pregunta es ¿cómo tratar la derivada?

U (N)

$U(N)$ no es un espacio de Banach, no podemos calcularlo.

Cosmas Zachos

banach ? ¿No lo estás pensando demasiado? Te animé a tomar derivados con elementos de matriz. En cualquier caso, de la forma que desee, vea cómo obtiene el invariante por la derecha, por lo quela corriente por la izquierda

j_{A} \propto i U \partial_{μ} U^{†}

$j_A\propto i U\partial_\mu U^\dagger$ y la derecha, por lo tanto invariante a la izquierda,

j_{B} \propto i U^{†} \partial_{μ} U

$j_B \propto i U^\dagger \partial_\mu U$ .

mikis

De acuerdo. Mi principal problema era cuál era el significado de

\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} U)}

$\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U)}$ , dónde

U \in U (N)

$U\in U(N)$ o más generalmente, si

G

$G$ es un grupo de mentiras y

g \in G

$g\in G$ qué es

\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} g)}

$\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu g)}$ . El problema de pensarlo directamente es que no tenemos una estructura lineal en

U (N)

$U(N)$ , por lo que formalmente no sabemos cómo entender estas derivadas. En resumen, estas derivadas significan

{(\frac{\partial}{\partial (\partial_{μ} U_{a b})})}_{a, b}

$\left( \frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U_{ab})}\right)_{a,b}$ , bien ?

Cosmas Zachos

Todavía estoy desconcertado en cuanto a lo que te molesta y por qué imaginas que no hay una estructura (bi) lineal. ¿No lees este Tr

\partial_{μ} U^{†} \partial_{μ} U = \sum_{a, b} \partial_{μ} U_{a b}^{†} \partial_{μ} U_{b a}

$\partial_\mu U^\dagger \partial_\mu U=\sum_{a,b}\partial_\mu U^\dagger_{ab} \partial_\mu U_{ba}$ ? Así que considera cada uno

U_{a b}

$U_{ab}$ como una variable separada, interpretando correctamente el socio hc.

mikis

No hay una estructura lineal en

U (N)

$U(N)$ (Por ejemplo

U (1)

$U(1)$ es un círculo, que no es un espacio topológico lineal - si sumamos

r \in U (1)

$r\in U(1)$ a

- r \in U (1)

$-r\in U(1)$ entonces obtenemos

0

$0$ , que no pertenecen al círculo). Podemos definir la diferenciación solo con elementos del espacio lineal (a veces también requerimos la estructura de Banach), por lo que no podemos definir

\frac{\partial}{\partial U}

$\frac{\partial}{\partial U}$ para

U \in U (N)

$U\in U(N)$ etc. Ahora entiendo lo que significa este símbolo, pero en mi libro no estaba definido. Traté de pensar en

U (x)

$U(x)$ como una variable en lugar de

U_{a b}

$U_{ab}$ como variables separadas. Intentaré hacerlo como me escribiste. ¡Gracias!

gentil

@CosmasZachos Sin embargo, no creo que lo anterior sea un "problema trivial de tarea". Ningún teorema relaciona grupos de simetrías continuas con leyes de conservación: en el caso que nos ocupa, teniendo

U (N)

$U(N)$ representaciones de dimensión finita, cada operador se puede descomponer finamente en su base y la traza se puede calcular sumando los términos diagonales, como mostró, sin preocuparse por una fuerte convergencia en el sentido del operador. En el caso de grupos de operadores que no posean representaciones triviales de dimensión finita, en cambio, el problema no es trivial...

gentil

... y valdría la pena dedicar algunas palabras más a lo que significa para un lagrangiano sufrir una transformación del tipo que se muestra arriba.

Cosmas Zachos

@GennaroTedesco No estoy seguro de lo que buscas. Los principales modelos quirales son el pan y la mantequilla de los FT efectivos de la dinámica del sabor en la física de partículas, y el grupo de sabor es un N SU(N) finito . Las U son matrices tontas de pequeñas dimensiones que involucran mesones. La representación fundamental para N ⟶ ∞ es, de hecho, infinitamente dimensional, pero se puede obtener sin problemas en ese límite. En la medida en que A y B son elementos de grupo de SU(N) , son básicamente exp( ia · T ) s, por lo que son grupos continuos. La invariancia del Lagrangiano es manifiesta. Cualquier texto QFT que se precie los cubre.

Cosmas Zachos

Podría decirse que la sección 3 de nuestro artículo anterior revisa e interpreta estos modelos geométricamente, a su satisfacción o no...

gentil

@CosmasZachos Tal vez no leyó bien mi comentario anterior. En caso de

S U (N)

$SU(N)$ todo es obviamente trivial. En el caso de diferentes grupos, el asunto puede volverse no trivial de acuerdo con la estructura que tienen el grupo y sus representaciones, ya que puede volverse no trivial incluso para definir qué es una simetría continua para ese grupo. Solo quería comentar que, aunque el ejercicio podría resolverse sumando la fuerza bruta sobre el rastro, la pregunta en sí no lo es.

Cosmas Zachos

Todavía no puedo adivinar lo que podrías estar buscando. Si publicó una pregunta independiente sobre esto, asegúrese de definir cada término sin ambigüedades.

flippiefanus

Hay diferentes formas de calcular la corriente de Noether. Por ejemplo, se puede utilizar el método de la integral de trayectoria.

Respuestas (1)

Corrientes conservadas para Lagrangian dadas por una traza

Evidentemente, este es un problema de tarea trivial que su instructor le asignó para asegurarse de que comprenda los símbolos involucrados. ¿Te ayudaría escribir las matrices como sumas de los dos índices respectivos de las dos matrices respectivas U y su hc? Si las dos matrices están en U(N) , son expandibles alrededor de la identidad, A ~ $1\!\!\!1 +iaT$ , por lo que entonces $\delta U= ia T U$ , etc... explotando la ciclicidad de la traza, ¿no tienes tu respuesta? Solo necesita apreciar lo que realmente significa la elegante notación quiral de Gursey.
Este es un ejercicio que encontré leyendo un libro sobre teoría de campos. Traté de expandir $A\sim 1+i\sum_{j}^{N^2-1}a_j T^j$ , pero ahora veo que es suficiente para tomar $A\sim 1+iaT$ como escribiste La pregunta es ¿cómo tratar la derivada? $U(N)$ no es un espacio de Banach, no podemos calcularlo.
banach ? ¿No lo estás pensando demasiado? Te animé a tomar derivados con elementos de matriz. En cualquier caso, de la forma que desee, vea cómo obtiene el invariante por la derecha, por lo quela corriente por la izquierda $j_A\propto i U\partial_\mu U^\dagger$ y la derecha, por lo tanto invariante a la izquierda, $j_B \propto i U^\dagger \partial_\mu U$ .
De acuerdo. Mi principal problema era cuál era el significado de $\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U)}$ , dónde $U\in U(N)$ o más generalmente, si $G$ es un grupo de mentiras y $g\in G$ qué es $\frac{\partial}{\partial (\partial_\mu g)}$ . El problema de pensarlo directamente es que no tenemos una estructura lineal en $U(N)$ , por lo que formalmente no sabemos cómo entender estas derivadas. En resumen, estas derivadas significan $\left( \frac{\partial}{\partial (\partial_\mu U_{ab})}\right)_{a,b}$ , bien ?
Todavía estoy desconcertado en cuanto a lo que te molesta y por qué imaginas que no hay una estructura (bi) lineal. ¿No lees este Tr $\partial_\mu U^\dagger \partial_\mu U=\sum_{a,b}\partial_\mu U^\dagger_{ab} \partial_\mu U_{ba}$ ? Así que considera cada uno $U_{ab}$ como una variable separada, interpretando correctamente el socio hc.
No hay una estructura lineal en $U(N)$ (Por ejemplo $U(1)$ es un círculo, que no es un espacio topológico lineal - si sumamos $r\in U(1)$ a $-r\in U(1)$ entonces obtenemos $0$ , que no pertenecen al círculo). Podemos definir la diferenciación solo con elementos del espacio lineal (a veces también requerimos la estructura de Banach), por lo que no podemos definir $\frac{\partial}{\partial U}$ para $U\in U(N)$ etc. Ahora entiendo lo que significa este símbolo, pero en mi libro no estaba definido. Traté de pensar en $U(x)$ como una variable en lugar de $U_{ab}$ como variables separadas. Intentaré hacerlo como me escribiste. ¡Gracias!
@CosmasZachos Sin embargo, no creo que lo anterior sea un "problema trivial de tarea". Ningún teorema relaciona grupos de simetrías continuas con leyes de conservación: en el caso que nos ocupa, teniendo $U(N)$ representaciones de dimensión finita, cada operador se puede descomponer finamente en su base y la traza se puede calcular sumando los términos diagonales, como mostró, sin preocuparse por una fuerte convergencia en el sentido del operador. En el caso de grupos de operadores que no posean representaciones triviales de dimensión finita, en cambio, el problema no es trivial...
... y valdría la pena dedicar algunas palabras más a lo que significa para un lagrangiano sufrir una transformación del tipo que se muestra arriba.
@GennaroTedesco No estoy seguro de lo que buscas. Los principales modelos quirales son el pan y la mantequilla de los FT efectivos de la dinámica del sabor en la física de partículas, y el grupo de sabor es un N SU(N) finito . Las U son matrices tontas de pequeñas dimensiones que involucran mesones. La representación fundamental para N ⟶ ∞ es, de hecho, infinitamente dimensional, pero se puede obtener sin problemas en ese límite. En la medida en que A y B son elementos de grupo de SU(N) , son básicamente exp( ia · T ) s, por lo que son grupos continuos. La invariancia del Lagrangiano es manifiesta. Cualquier texto QFT que se precie los cubre.
Podría decirse que la sección 3 de nuestro artículo anterior revisa e interpreta estos modelos geométricamente, a su satisfacción o no...
@CosmasZachos Tal vez no leyó bien mi comentario anterior. En caso de $SU(N)$ todo es obviamente trivial. En el caso de diferentes grupos, el asunto puede volverse no trivial de acuerdo con la estructura que tienen el grupo y sus representaciones, ya que puede volverse no trivial incluso para definir qué es una simetría continua para ese grupo. Solo quería comentar que, aunque el ejercicio podría resolverse sumando la fuerza bruta sobre el rastro, la pregunta en sí no lo es.
Todavía no puedo adivinar lo que podrías estar buscando. Si publicó una pregunta independiente sobre esto, asegúrese de definir cada término sin ambigüedades.
Hay diferentes formas de calcular la corriente de Noether. Por ejemplo, se puede utilizar el método de la integral de trayectoria.

flippiefanus · Answer 1

Al ver que está etiquetado como un ejercicio de tarea, probablemente no se supone que debo resolver el problema, pero puedo dar algunas pistas sobre cómo abordaría el problema. Suponiendo que uno quiera usar el enfoque estándar para derivar la corriente de Noether, sugeriría que uno no piense demasiado en el problema y simplemente trate el problema. $U$ 's como funciones (matriciales). Luego se pueden aplicar las derivadas como derivadas funcionales de la forma habitual (pero usaré la notación normal para las derivadas). Se necesitaría una regla para aplicar las derivadas funcionales. Haciendo explícitos los índices de las matrices, se tendría

\frac{\partial [tu (X)]_{a b}}{\partial [tu (y)]_{C d}} = d (X - y) d_{a}^{C} d_{b}^{d} .

$\frac{\partial [U(x)]_{ab} }{\partial[U(y)]_{cd}} = \delta(x-y)\delta_{a}^{c}\delta_{b}^{d} .$ Ahora puede generalizar esto al caso donde

U

$U$ es reemplazado por

\partial_{μ} U

$\partial_{\mu} U$ .

Otra cosa importante a recordar es que la derivada del adjunto no es cero.

\frac{\partial {tu}^{†}}{\partial tu} \neq 0 .

$\frac{\partial U^{\dagger} }{\partial U}\neq 0 .$

Para esto se puede usar

{tu}^{†} = {tu}^{†} tu {tu}^{†} .

$U^{\dagger} = U^{\dagger}UU^{\dagger} .$

Si todavía te quedas atascado, házmelo saber, entonces quizás pueda ampliar algunos de estos puntos.

Corrientes conservadas para Lagrangian dadas por una traza

mikis

Cosmas Zachos

mikis

Cosmas Zachos

mikis

Cosmas Zachos

mikis

gentil

gentil

Cosmas Zachos

Cosmas Zachos

gentil

Cosmas Zachos

flippiefanus

Respuestas (1)

flippiefanus

La variación de la densidad lagrangiana bajo una transformación infinitesimal de Lorentz

Momento canónico frente a Noether para ondas longitudinales en una cadena 1D

Del teorema de Noether al tensor canónico de Energía-Momento usando traslaciones

Constantes de movimiento de un Lagrangiano

Teorema de Noether con infinitos parámetros

Derivación del teorema de Noether para campos

Corrientes conservadas del teorema de Noether

Aplicación del teorema de Noether

Teorema de Noether en la teoría clásica de campos Confusión

Demostración del teorema de Noether en mecánica clásica