Noether cobra por Lorentz Transformation en términos de operadores de creación / aniquilación

Estoy tratando de calcular la carga conservada para una simetría de Lorentz continua para un campo escalar real en términos de operadores de creación/aniquilación. Así que tengo,

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2$$

Siguiendo un argumento similar a ¿Qué ley de conservación corresponde a los impulsos de Lorentz? , puedo demostrar que, la carga conservada es,

$$M^{\mu \nu} = \int \left( x^{\mu} T^{0 \nu} - x^{\nu} T^{0 \mu} \right) \mathrm{d}^3x$$

Sin embargo, necesito expresar esto en términos de operadores de creación y aniquilación. Así que comencé escribiendo los términos de mi tensor de tensión-energía.

Para este problema, estamos escribiendo la Transformación de Lorentz como:

$$\Lambda^{\mu}_{\nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + \omega^{\mu}_{\nu}$$

dónde$\omega$es antisimétrico. Debido a esto, nuestro tensor de tensión-energía también va a ser antisimétrico, por lo que$T^{00} = 0$. Esto me permite escribir:

$$T^{0\mu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_0 \phi)} \partial^{\mu} \phi\; - \; \delta^{0 \mu} = \frac{1}{2} \partial^{0} \phi \; \partial^{\mu} \phi$$

Usando esto, obtengo,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \partial^{0}\phi\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \partial^{0}\phi \; \partial^{\nu} \phi$$

Si usamos la firma (1, -1, -1, -1) para nuestra métrica, podemos escribir,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu} \dot{\phi}\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \dot{\phi} \; \partial^{\nu} \phi = \frac{1}{2} \int_x x^{\nu}\; \Pi(x, t)\; \partial^{\mu} \phi - x^{\mu} \; \Pi(x, t) \; \partial^{\nu} \phi$$

dónde$\Pi(x, t)$es nuestro momento canónico conjugado (densidad).

Ahora, estoy un poco dudoso acerca de la siguiente parte, pero lo que hice a continuación fue argumentar que porque$x^{\mu}$va a ser solo un componente del vector de posición 4 (y por lo tanto un número), puedo moverlo fuera de la integral para escribir

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\nu} \phi - x^{\nu} \int \mathrm{d}^3 x \; \Pi(x, t) \partial_{\mu} \phi \right]$$

Los signos se voltearon cuando bajé el índice. Esto da,

$$M^{\mu \nu} = \frac{1}{2} \left[ x^{\mu} P_{\nu} - x^{\nu} P_{\mu} \right] = \frac{1}{2} \left[ x^{\nu} P^{\mu} - x^{\mu} P^{\nu} \right]$$

Esto tiene sentido porque toma la forma de momentos angulares, pero no sé cómo simplificar esto para obtenerlo en términos de la suma de un producto de operadores de creación/aniquilación, uno de los cuales es diferenciado. Estoy atrapado aquí.