¿Cuáles son las ecuaciones de movimiento para el campo escalar en el formalismo de tétrada?

La acción de un campo escalar sin masa viene dada por:

$$\begin{eqnarray} S(\phi)&=&\int{\cal{L}}dt\\ &=&\int d^{4}x \sqrt{-g}\left(g^{\mu\nu}\phi_{,\mu}\phi_{,\nu}\right) \end{eqnarray}$$

Ahora eligiendo una tétrada, es decir, una base de una forma en cada punto del espacio-tiempo$\{e^{a}=e^{a}_{\mu}dx^{\mu}\}$podemos reescribir la acción como:

$$\begin{eqnarray} S(\phi)&=&\int{\cal{L}}dt\\ &=&\int d^{4}x e\left(e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}\eta^{ab}\phi_{,\mu}\phi_{,\nu}\right) \end{eqnarray}$$

dónde$e$es el determinante de$e^{a}_{\mu}$que es igual a$\sqrt{-g}$y hemos usado la identidad$e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu}\eta^{ab}=g^{\mu\nu}$.

Ahora las ecuaciones de movimiento están dadas por las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\begin{equation} \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)=0. \end{equation}$$

Entonces tenemos

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}&=&0\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}&=& e e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu}\eta^{ab}\phi_{,\nu} \end{eqnarray}$$

donde la ecuación del movimiento toma la forma:

$$\begin{equation} \partial_{\mu}\left(e e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu}\eta^{ab}\phi_{,\nu}\right)=0 \end{equation}$$

Ahora teniendo en cuenta que$\partial_{b}=e^{\nu}_{b}\partial_{\nu}$da:

$$\begin{equation} \partial_{\mu}\left(e e_{a}^{\mu}\eta^{ab}\phi_{,b}\right)=0 \end{equation}$$

Entonces la ecuación de movimiento toma la forma:

$$\begin{eqnarray} e\eta^{ab}\partial_{a}\phi_{,b}+e\eta^{ab}\phi_{,b}\partial_{\mu}(e_{a}^{\mu})+\eta^{ab}\phi_{,b}\partial_{a}e=0\\ \end{eqnarray}$$