Derivar un modelo σσ\sigma no lineal a partir de una teoría de SU(2) matirx

Se dice en el Capítulo VI.4 del libro Quantum Field Theory in a Nutshell de A. Zee , una teoría definida como$L(U(x))=\frac{f^2}{4}Tr(\partial_{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U)$, se puede escribir en forma no lineal$\sigma$modelo (hasta algún pedido)

$L=\frac{1}{2}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2+...$,

dónde$U(x)=e^{\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}}$es un campo de valor matricial que pertenece a$SU(2)$,$\vec{\pi}$es un vector de tres componentes,$\vec{\tau}$son matrices de Pauli. Tal vez no sea difícil pero me encuentro con algunos problemas para derivarlo.

Supongo que el primer paso es la expansión de Taylor de$U$,$U=1+\frac{i}{f}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}-\frac{1}{2f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})^2+...$, y luego$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})-\frac{1}{f^2}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})$, entonces

$(\partial_{\mu}U^{\dagger})(\partial^{\mu}U)=\frac{1}{f^2}[\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2+\frac{1}{f^4}.[(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})\partial(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})]^2$.

Ahora están mis preguntas,

(1) puedo escribir$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$? Entonces por$\vec{\tau}^2=1$, Yo obtengo

$L=\frac{1}{4}(\partial\vec{\pi})^2+\frac{1}{4f^2}(\vec{\pi}\cdot\partial\vec{\pi})^2$,

que es casi correcto pero difiere de la respuesta deseada por un factor previo$\frac{1}{2}$.

(2) Supongamos$\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$es correcto, sin embargo, si lo hago$\partial^{\mu}U=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}(\vec{\pi}\cdot\vec{\tau})=\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$primero, parece$\partial^{\mu}U^{\dagger}\cdot\partial^{\mu}U=|\frac{i}{f}U\partial^{\mu}\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}|^2=\frac{1}{f^2}(\partial\vec{\pi})^2$, digamos, sólo el primer término de la respuesta deseada.

Probablemente hice algo mal en alguna parte, ¿alguien puede golpearme?