Origen de las relaciones canónicas de conmutación de tiempo igual

De hecho, con alguna suposición técnica, la CCR surge de la necesidad de compatibilidad del formalismo lagrangiano/hamiltoniano y la formulación estándar de la teoría cuántica. No seré del todo riguroso a continuación y solo indico el camino a seguir para conseguir el resultado deseado.

Considere el hamiltoniano de la teoría, se lee

$$H(t_0) = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^3, t=t_0} \Pi_\mu \Pi^\mu + \vec{\nabla} A_\mu \cdot \vec{\nabla} A_\mu d^3x\tag{1}$$ A partir de la evolución de los operadores de Heisenberg, nos comprometemos a suponer que $$\partial_t A_\mu(t,x) = i[H(t), A_\mu(t,x)]\tag{2}\:.$$ Por otro lado, a partir de las ecuaciones de Hamilton, o directamente de la definición de momento conjugado en la formulación de Lagrange, tenemos $$\Pi_\mu(t,x) = \partial_t A_\mu(t,x)\tag{3}\:.$$ Entonces, juntando (1) y (2), debe ser $$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x+ \int [\vec{\nabla} A_\mu(t,x) \cdot \vec{\nabla} A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)] d^3x = -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Si ahora suponemos que

H1 . mediciones en diferentes posiciones en el mismo tiempo fijo de componentes generalmente diferentes de$A_\mu$son compatibles en sentido cuántico ,

es decir,$[A_\mu(t,x), A^\nu(t,y)]=0$,

permanece

$$\int [\Pi_\mu(t,x) \Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ eso es $$\int \Pi_\mu(t,x)\:[\Pi^\mu(t,x), A^\nu(t,y) ] d^3x + \int [\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]\: \Pi^\mu(t,x) d^3x= -2i\partial_t A^\nu(t,y)$$ Si ahora suponemos además que

H2 .$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]$es un numero$[\Pi_\mu(t,x), A^\nu(t,y) ]= c(t,x,y)I$para que conmute con los operadores,

tenemos

$$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\partial_t A^\nu(t,y)\:.$$ de (3) $$\int \Pi_\mu(t,x)c(t,x,y) d^3x = -i\Pi_\nu(t,y)\:.$$ Esto significa $$\int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y) + i\delta(x,y) \delta^\mu_\nu \right)d^3x =0\:.\tag{5}$$ Esta identidad debe interpretarse dentro del procedimiento de smearing de tiempo fijo (también las líneas anteriores deben interpretarse de esta manera, pero aquí hago explícito el formalismo ya que se necesita una hipótesis adicional crucial que se establece con este formalismo): Los operadores $A(t,x)$y $\Pi(t,x)$tienen que ser manchados con funciones suaves y compactas compatibles $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$dando lugar a los operadores de campo difuso , los que tienen sentido matemático. $$A(t,f) := \int A(t,x) f(x) d^3x\:,\quad \Pi(t,f) := \int \Pi(t,x) f(x) d^3x$$ Por ejemplo $$[A(t,x), \Pi(t,y)] = i \delta(x-y)I$$ debe interpretarse como una forma abreviada de escribir $$[A(t,f), \Pi(t,g)] = i \int f(x)g(x) d^3x \:I$$ De esta manera (5) en realidad significa que, para cada función suave compatible de forma compacta $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, $$\int d^3y \int \Pi_\mu(t,x)\left(c(t,x,y)f(y) + i\delta(x,y) f(y)\delta^\mu_\nu \right)d^3x =0$$ En otras palabras $$\Pi_\mu\left(t, \int c(t,\cdot,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f\right) =0\tag{6}$$ La última hipótesis que exijo es que

H3 . el operador valoró la distribución$f \mapsto \Pi_\mu(t,f)$se desvanece si y solo si$f=0$.

Asumiendo esto, (6) implica

$$\int c(t,x,y)f(y) d^3y +i \delta^\mu_\nu f(x) =0$$ para cada función dicha $f$, lo que significa $$c(t,x,y) = -i\delta^\mu_\nu \delta(x-y)\:,$$ como quería