Lagrangiana de la ecuación de Klein Gordon

Considere la siguiente densidad lagrangiana

L ( Φ , ∂ m Φ ) = − 1 2 ∂ m Φ ∂ m Φ − metro Φ 2 2 .

Quiero calcular la ecuación de movimiento usando la ecuación de Euler-Lagrange para derivar la ecuación de Klein-Gordon. La ecuación EL establece

∂ L ∂ Φ − ∂ m ∂ L ∂ ( ∂ m Φ ) = 0
Entonces, calculé ∂ L ∂ Φ = − metro 2 Φ , y para el otro término
∂ m ∂ L ∂ ( ∂ m Φ ) = − 1 2 ∂ m ( ∂ ∂ ( ∂ m Φ ) ) ( ∂ v Φ gramo v α ∂ α Φ ) ⏟ Nuevo índice gratuito,  v = − 1 2 ∂ m gramo v α ( d v m ∂ α Φ + d α m ∂ v Φ = − 1 2 ∂ m ( ∂ m Φ + ∂ m Φ ) = − ∂ m ∂ m Φ .

Mi pregunta es, ¿es correcto que tenga que introducir el índice gratuito? v , o hay formas más fáciles de hacer esto?

se ve bien ¿Puedes confirmar el signo del término cinético? ¿Qué métrica estás usando?
En tu última ecuación, la última expresión se sigue inmediatamente de la primera.
Probablemente un poco poco convencional, pero nuestro profesor usa gramo = diagnóstico ( − , + , + , + )
@ my2cts ¿a qué te refieres?
Quiero decir que no necesitas usar el tensor métrico.
Esa era exactamente mi pregunta, ¿cómo puedo hacerlo sin?

Respuestas (1)

Mi pregunta es, ¿es correcto que tenga que introducir el índice gratuito? v , o hay formas más fáciles de hacer esto?

No introdujiste un índice libre v como se contrae con otro. Un índice libre significa que el índice no se suma. Lo que hiciste fue introducir un d tu metro metro y índice para sumar.

La respuesta a su pregunta, sin embargo, es no , no hay una manera más fácil de hacer esto. En la teoría cuántica de campos, esto es tan fácil como parece. La forma de demostrar la derivada de ( ∂ Φ ) 2 es hacer precisamente lo que hiciste usando la definición ∂ m Φ ∂ v Φ gramo m v y luego usa la regla del producto.

La ecuación de Klein Gordon resultante no debe depender de la convención que use para la métrica, ya que puede simplemente multiplicar por un signo menos para obtener los signos menos relativos correctos.

Sin embargo, lo anterior puede darle la impresión de que las ecuaciones de movimiento no "se verán" diferentes en diferentes métricas. Pero eso estaria mal. Las ecuaciones de Maxwell son un buen ejemplo de esto.

∂ m F m v = j v ( + − − − )

y

∂ m F m v = − j v ( − + + + ) .

Las ecuaciones parecen diferentes pero no lo son. De hecho, el signo menos "extra" en la última ecuación proviene del hecho de que A m = ( − Φ , A ) en el ( − + + + ) convención. Entonces las ecuaciones son idénticas. Creo que esta respuesta puede ser de alguna utilidad.

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