Conexiones Einstein-Yang-Mills

Question

Conexiones Einstein-Yang-Mills

Regla Evan

Estoy jugando con acoplar un clásico $SU(2)$ Teoría de Yang-Mills a las ecuaciones de Einstein.

Suponiendo simetría esférica, la $SU(2)$ La conexión se puede escribir

\begin{matrix} (1) & A = ω (r) τ_{1} d θ + ω (r) pecado θ τ_{2} d θ + porque θ τ_{3} d ϕ, \end{matrix}

$\begin{equation} A = \omega(r)\tau_1 d\theta + \omega(r)\sin\theta \tau_2 d\theta + \cos\theta \tau_3 d\phi,\tag{1} \end{equation}$ donde el

τ_{i}

$\tau_i$ son los generadores de la

s u (2)

$\mathfrak{su}(2)$ álgebra.

Una métrica estática esféricamente simétrica tiene la forma

\begin{matrix} (2) & d s^{2} = - T^{- 2} (r) d t^{2} + B^{- 1} (r) d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} {pecado}^{2} θ d ϕ^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation} ds^2 = -T^{-2}(r)dt^2 + B^{-1}(r)dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\phi^2.\tag{2} \end{equation}$

Las ecuaciones de Yang-Mills son

\begin{matrix} (3) & D ⋆ F = 0, \end{matrix}

$\begin{equation} D\star F = 0,\tag{3} \end{equation}$ junto con la Identidad Bianchi

\begin{matrix} (4) & D F = 0. \end{matrix}

$\begin{equation} DF = 0.\tag{4} \end{equation}$

Claramente, $D$ contiene la derivada exterior covariante de calibre habitual

\begin{matrix} (5) & D F = d F + [A \land F] \end{matrix}

$\begin{equation} DF = dF + [A\wedge F]\tag{5} \end{equation}$ Con respeto a

S U (2)

$SU(2)$ conexión.

Aquí es donde surge mi pregunta: dado que el campo de Yang-Mills vive en un espacio-tiempo curvo, ¿no debería la derivada exterior covariante de calibre incluir términos adicionales que describan la derivada covariante habitual de $F$ con respecto a la conexión Levi-Civita en la variedad del espacio-tiempo?

zzz

Una teoría de calibre es un paquete principal sobre una variedad suave, en particular, no depende de la estructura de Riemann (conexión, métrica, etc.) en la variedad base, por lo tanto, ninguna curvatura del espacio-tiempo no cambia la conexión o derivada covariante en su teoría del calibre.

zzz

También puede notar que, en general, la derivada covariante está completamente fijada por la conexión del paquete principal.

zzz

Independientemente de lo anterior, sí, un acoplamiento a un fondo en su lagrangiano introducirá una dependencia de la métrica de Riemann en la parte dinámica de las ecuaciones de yang mills, es decir, la primera ecuación de yang mills probablemente ya no se verá así. Aún así, la derivada covariante no cambiará.

ryan unger

@bechira Creo que la diferencia será que la derivada covariante de calibre contendrá un término de conexión de espín, además de la conexión principal del paquete.

Regla Evan

@bechira Gracias por tus comentarios. Expresé mi pregunta un poco mal cuando hablé de la necesidad de modificar la derivada covariante de calibre. Obviamente, la estructura de la variedad base no afectará la derivada covariante de calibre en el paquete sobre esa variedad. Estoy de acuerdo en que se modificarán las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Trabajaré en derivarlos del Lagrangiano.

Respuestas (2)

Conexiones Einstein-Yang-Mills

Una teoría de calibre es un paquete principal sobre una variedad suave, en particular, no depende de la estructura de Riemann (conexión, métrica, etc.) en la variedad base, por lo tanto, ninguna curvatura del espacio-tiempo no cambia la conexión o derivada covariante en su teoría del calibre.
También puede notar que, en general, la derivada covariante está completamente fijada por la conexión del paquete principal.
Independientemente de lo anterior, sí, un acoplamiento a un fondo en su lagrangiano introducirá una dependencia de la métrica de Riemann en la parte dinámica de las ecuaciones de yang mills, es decir, la primera ecuación de yang mills probablemente ya no se verá así. Aún así, la derivada covariante no cambiará.
@bechira Creo que la diferencia será que la derivada covariante de calibre contendrá un término de conexión de espín, además de la conexión principal del paquete.
@bechira Gracias por tus comentarios. Expresé mi pregunta un poco mal cuando hablé de la necesidad de modificar la derivada covariante de calibre. Obviamente, la estructura de la variedad base no afectará la derivada covariante de calibre en el paquete sobre esa variedad. Estoy de acuerdo en que se modificarán las ecuaciones de campo de Yang-Mills. Trabajaré en derivarlos del Lagrangiano.

qmecanico · Answer 1

OP está considerando la teoría de Yang-Mills sobre un espacio base curvo $(M,g)$ . Si la conexión del espacio base es la conexión Levi-Civita $\nabla^{LC}=\partial+\Gamma$ , entonces no importa si se usa la derivada covariante de calibre $D=\partial+A$ o la derivada covariante completa $\nabla=D+\Gamma$ desde los símbolos de Christoffel $\Gamma$ abandona la teoría de Yang-Mills y las ecuaciones de OP. (3), (4) y (5). Esto se debe principalmente a la resistencia a la torsión de la conexión Levi-Civita. $\nabla^{LC}$ .

Mad Max · Answer 2

La conexión Levi-Civita aparece solo cuando alguna cantidad es covariante bajo las transformaciones locales de Lorentz. Pero si todo es invariable bajo las transformaciones locales de Lorentz, la conexión Levi-Civita es irrelevante. Los campos métrico y YM (que son de interés en la teoría de Yang-Mills en el espacio-tiempo curvo) son invariantes, mientras que la curvatura de Riemann es covariante (que es de interés en la relatividad general). Es por eso que el símbolo de Christoffel desaparece de la teoría de Yang-Mills y de las ecuaciones de OP. (3), (4) y (5). Este hecho no tiene nada que ver con la condición de libertad de torsión de la conexión Levi-Civita como sugiere la otra respuesta . Es cierto incluso en condiciones de torsión distintas de cero.

Una nota al margen: la identidad de Bianchi es la misma independientemente del espacio-tiempo plano o curvo, ya que la métrica no aparece en la identidad de Bianchi. Por otro lado, el doble de Hodge $\star$ en la ecuación de Yang-Mills depende de la métrica.

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zzz

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ryan unger

Regla Evan

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qmecanico

Mad Max

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