¿Existe una noción de torsión para la conexión Yang-Mills/gauge?

no hay

La torsión representa la falla de los "paralelos infinitesimales" para cerrarse.

Para ver esto, considere un punto$x$y y dos puntos "infintesimalmente cercanos"$x_1^\mu=x^\mu+\frac{dx^\mu}{d\tau}d\tau=x^\mu+T^\mu d\tau$y$x_2^\mu =x^\mu+S^\mu d\sigma$.

Ahora hacemos transporte paralelo$T^\mu d\tau$al segundo punto$x^\mu+S^\mu d\sigma$:

$$T^\mu(x_2)d\tau=(T^\mu-\Gamma^\mu_{\nu\sigma}S^\nu d\sigma T^\sigma) d\tau,$$ agregue esto al segundo punto y obtenga $$x_3^\mu= x^\mu +S^\mu d\sigma+T^\mu d\tau-\Gamma^\mu_{\nu\sigma}S^\nu T^\sigma d\sigma d\tau.$$

¿Y si hacemos al revés y transportamos$S^\mu d\sigma$a$x_1$?

Obtenemos

$$\tilde{x}_3^\mu=x^\mu+T^\mu d\tau+S^\mu d\sigma-\Gamma^\mu_{\nu\sigma}T^\nu S^\sigma d\sigma d\tau.$$

La diferencia de estos dos puntos es

$$\Delta x_3^\mu=(\Gamma^\mu_{\nu\sigma}-\Gamma^\mu_{\sigma\nu})d\sigma d\tau=T^\mu_{\ \nu\sigma}d\sigma d\tau.$$

La razón por la que digo esto es para ilustrar que el concepto central de la torsión involucra el transporte paralelo de un vector a lo largo de otro, y luego hacer la misma operación a la inversa, transportando el "otro" vector a lo largo del primero. La definición invariante

$$T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$$ también implica esto.

Para una conexión general, la dirección del transporte paralelo viene dada por un vector, pero el objeto a transportar en paralelo no son vectores sino elementos generales de fibra. Entonces, la operación de transportar un elemento de fibra a lo largo de un vector y luego transportar el vector a lo largo de un elemento de fibra no tiene sentido, porque un elemento de fibra no determina una dirección en la variedad en general. P.ej. la expresion$D_Xs$no puede ser simetrizado o antisimetrizado, ya que$X$y$s$son objetos muy diferentes.

La curvatura no tiene el mismo problema, ya que se necesitan dos vectores para generar un bucle, pero solo se transporta un elemento de fibra.

No, porque la torsión de una conexión se define como la acción de esta conexión sobre la soldadura.

$$T = D \theta$$

La conexión Yang-Mill no tiene forma de soldadura asociada.