¿Cuál es la interpretación física de las coordenadas armónicas?

La bien conocida propiedad de las coordenadas armónicas es que la divergencia covariante de un campo vectorial y el d'Alambertiano de un campo escalar toman una forma particularmente simple:

$$D_{\mu}A^{\mu} \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu}A_{\nu},\\ g^{\mu\nu}D_{\nu}D_{\mu}\phi \rightarrow g^{\mu\nu}\partial_{\mu} \partial_{\nu}\phi.$$ La condición armónica $$\partial_{\mu}\left( \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\right) =0\qquad\qquad\left( 1\right)$$ es ampliamente utilizado para construir el llamado calibre de Donder para la cuantificación de un campo gravitatorio débil. Si se usa la desviación $\psi^{\mu\nu}$de la densidad métrica contravariante de la plana $\eta^{\mu\nu}=diag\left( 1,-1,-1,-1\right)$como una variable de campo: $$\sqrt{-g}g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\psi^{\mu\nu},$$ entonces la condición del indicador $\partial_{\mu}\psi^{\mu\nu}=0$se parece mucho a la conocida condición de Lorentz (calibre de Feynman) $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$. Si se desea utilizar la desviación del tensor métrico covariante como variable de campo $$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu},\qquad\left( 2\right)$$ entonces la expansión del campo débil de la condición (1) toma la forma: $$\partial_{\mu}\left( h^{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}h_{\alpha}^{\alpha }\right) =0.$$

La expansión de campo débil de la acción de Einstein-Hilbert con respecto a$h_{\mu\nu}$-campo (2) tiene la forma:

$$S =\frac{1}{16\pi G_{N}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\sqrt{-g}\,R\\ =\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\partial_{\alpha}h\,\partial^{\alpha }h-2\,\partial_{\mu}h^{\mu\nu}\left( \partial_{\alpha}h_{\nu}^{\alpha }-\partial_{\nu}h\right) +O\!\left( h^{3}\right) \right] ,$$ dónde $\kappa=\sqrt{32\pi G_{N}}$. El indicador se puede fijar agregando el término: $$\frac{1}{\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\left( \partial_{\alpha}h_{\mu }^{\alpha}-\frac{1}{2}\partial_{\mu}h\right) \left( \partial_{\beta} h^{\beta\mu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}h\right) ,$$ así la acción toma una forma simple particular: $$S=\frac{1}{2\kappa^{2}}\int\mathrm{d}^{4}x\,\left[ \,\partial_{\alpha} h_{\mu\nu}\partial^{\alpha}h^{\mu\nu}-\,\frac{1}{2}\partial_{\alpha }h\,\partial^{\alpha}h+O\!\left( h^{3}\right) \right] .$$ Por lo tanto, en el calibre de De Donder, el propagador de gravitones tiene una forma muy simple: $$D_{\mu\nu,\alpha\beta}=\left\langle 0\left\vert T\,h_{\mu\nu}\left( x\right) h_{\alpha\beta}\left( y\right) \right\vert 0\right\rangle =i\kappa^{2} \int\frac{\mathrm{d}^{4}p}{\left( 2\pi\right) ^{4}}\frac{e^{-ip\cdot\left( x-y\right) }}{p^{2}+i0}\times\frac{1}{2}\left( \eta_{\mu\alpha}\eta_{\nu\beta }+\eta_{\mu\beta}\eta_{\nu\alpha}-\eta_{\mu\nu}\eta_{\alpha\beta}\right) .$$ El calibre de Donder es, por así decirlo, el análogo GR del calibre Feynman para QCD o QED.

Utilizando la condición de calibre (1) y los vértices extraídos de la expansión de campo débil de la acción de Einstein-Hilbert y utilizando la teoría de la perturbación QFT con respecto a$h_{\mu\nu}$, se puede encontrar, por ejemplo, el campo gravitatorio de una fuente estática sin espín. El resultado no será más que el$r_{g}/r$-expansión de la métrica de Schwarzschild en las coordenadas armónicas (ver, por ejemplo, S. Weinberg, Gravitation and Cosmology , eq. (8.2.15)):

$$ds^{2}=\frac{1-r_{g}/\left( 2r\right) }{1+r_{g}/\left( 2r\right) } \,dt^{2}-\frac{1+r_{g}/\left( 2r\right) }{1-r_{g}/\left( 2r\right) }\,\frac{r_{g}^{2}}{4r^{4}}\left( \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}\right) ^{2}-\left( 1+\frac{r_{g}}{2r}\right) ^{2}d\mathbf{r}^{2}.$$