Conexión entre la versión hamiltoniana del principio de acción mínima y la amplitud de probabilidad en la ecuación de Schrödinger

Lo que no entiendo es cómo terminó con una ecuación que es una distribución de probabilidad.

Terminó con la ecuación de Schroedinger, pero no pensó que describiera la probabilidad. Pensó más en la línea de la idea de De Broglie, que el electrón es algún tipo de onda, y$\psi$- solución a la ecuación - expresa matemáticamente la forma y otras propiedades de esta onda.

Interpretación probabilística de$\psi$fue presentado por Max Born basado en su estudio teórico de experimentos de dispersión de electrones. Encontró que los electrones siempre aparecen como puntos en la imagen, pero cuando se registran muchos puntos, su densidad es cercana a la magnitud de la$\psi$función.

Introducción :

La respuesta de Ján Lalinsky describe la historia estándar, que básicamente sigue el relato de Max Born en su conferencia Nobel de 1954, pero los detalles son un poco más complicados. Por ejemplo, decir que Schroedinger simplemente siguió la idea ondulatoria de De Broglie al derivar su ecuación es quitar la base de su enfoque original a una frase críptica que elimina toda su lógica. Y luego nos quedamos con el misterio de la ecuación de Schroedinger que, de forma poco intuitiva, "surge de la nada".

En cierto modo, el mismo Schroedinger es en parte responsable de este punto de vista, debido a la forma en que estructuró y envió para su publicación sus cuatro artículos seminales de 1926, "Quantisation as a Problem of Proper Values", partes I-IV (para reimpresiones en inglés ver Ejemplo de la colección de Stephen Hawking " Los sueños de los que están hechas las cosas" ."). Su célebre ecuación aparece por primera vez, como una versión independiente del tiempo para un electrón en un campo eléctrico central, en la ecuación (5) de la Parte I. Contrariamente a los estándares comunes, la justificación dada allí se reduce a lo esencial. : una formulación variacional, ecuación (2), basada en una ecuación de Hamilton-Jacobi, ecuación (1). Esta es probablemente la razón por la cual la "derivación" se equipara comúnmente a un movimiento de manos más o menos glorificado. Pero la base detallada para el enfoque de Schroedinger - tanto formal como intuitiva - es de hecho el tema de la Parte II, donde el propósito declarado es

"arrojar más luz sobre la correspondencia general que existe entre la ecuación diferencial de Hamilton-Jacobi de un problema mecánico y la ecuación de onda "aliada" , es decir, la ecuación (5) de la Parte I […]"

Como señala el propio Schroedinger,

"Hasta ahora solo hemos descrito brevemente esta correspondencia en su lado analítico externo por la transformación (2), que es en sí misma ininteligible, y por la transición igualmente incomprensible de la equiparación a cero de una cierta expresión a la postulación de que la integral espacial de dicha expresión será _estacionario_$^1$." (Nota al pie$^1$procede a explicar que "El procedimiento [...] solo pretendía dar un vistazo provisional y rápido de la conexión externa entre la ecuación de onda y la ecuación de Hamilton-Jacobi", donde "$\psi$no es en realidad la función de acción de un movimiento definido en la relación establecida en (2) de la Parte I", pero "Por otro lado, la conexión entre la función de onda y el problema de variación es, por supuesto, muy real: el integrando del estacionario integral es la función de Lagrange para el proceso de onda.")

Para responder a la pregunta :

El segundo párrafo de la Parte II luego procede a esbozar el punto de partida de Schroedinger, que dice que fue de hecho el "punto de partida del propio Hamilton para su teoría de la mecánica, que surgió de su Óptica de medios no homogéneos [de Hamilton] :

"Se puede demostrar que el principio variacional de Hamilton corresponde al principio de Fermat para la propagación de una onda en el espacio de configuración (espacio q), y la ecuación de Hamilton-Jacobi expresa el principio de Huygens para la propagación de esta onda. Desafortunadamente, esta poderosa y trascendental concepción de Hamilton está privada , en la mayoría de las reproducciones modernas, de su hermosa vestimenta como un accesorio superfluo, a favor de una representación más incolora de la correspondencia analítica".

Esta analogía entre la dinámica en el espacio de configuración y la óptica de ondas en medios no homogéneos es, por supuesto, la intuición que guía el enfoque de Schroedinger.

Lo que hace técnicamente es reformular el enfoque de Hamilton con la ayuda de un método desarrollado por Hertz. Este último básicamente dota al espacio de configuración de una métrica no euclidiana definida por la energía cinética,$ds^2 = 2 {\bar T}(q_k, {\dot q}_k) dt^2$(otra nota al pie revela que el problema fue estudiado a fondo por Felix Klein ya en 1891, y Sommerfeld lo conocía bien). La dinámica ahora se describe no por caminos en el espacio de configuración (multidimensional), sino por la "propagación en forma de onda" de las superficies de equiacción normales a estos caminos. Es esta "propagación" la que es análoga a la de los frentes de onda ópticos en un medio no homogéneo, donde los "trayectos" corresponden a la óptica de rayos, mientras que los frentes de onda corresponden obviamente a la óptica de ondas ("ondulatoria"). Schroedinger luego empuja la conjetura de que esta analogía debe ser completa. Es decir, supone que así como la necesidad de la óptica ondulatoria se deriva del desglose de la óptica de rayos para trayectorias cortas de gran curvatura (interferencia y difracción alrededor de obstáculos menores o comparables a la longitud de onda), exactamente del mismo modo el desglose de la óptica clásica La mecánica ondulatoria, también para trayectorias cortas de gran curvatura, exige una mecánica ondulatoria basada en frentes de onda de equiacción. Luego infiere la "mecánica ondulatoria" más simple en el espacio de configuración que tiene como "límite de rayos" la mecánica clásica habitual.

Pero no recurre a de Broglie para hacerlo . De hecho, no tiene que hacerlo. Primero deriva la relación de De Broglie entre la velocidad de las partículas y el grupo de ondas (espacio de configuración) utilizando la relación de Planck$E = h\nu$en la ecuación para los frentes de onda de acción. Sin embargo, enfatiza la consistencia de su enfoque con la hipótesis de de Broglie de las "ondas de fase".

En cuanto a la interpretación estadística , cabe señalar que Schroedinger concluyó la Parte IV con la Sección §7, Sobre el significado físico del campo escalar (función de onda). El observó que$\psi\psi^*$debe ser "una especie de función de peso en el espacio de configuración del sistema", que indica la probabilidad de que el sistema se encuentre en esa configuración particular. De hecho, él mismo se acerca mucho a establecer la interpretación estadística:

"[...] podemos decir que el sistema existe, por así decirlo, simultáneamente en todas las posiciones cinemáticamente imaginables, pero no "con la misma fuerza" en todas".

Además, Schroedinger señala que, de acuerdo con la interpretación del peso, la integral del espacio de configuración de la función de peso se conserva, y la función de peso en sí misma satisface una ecuación de continuidad con la densidad de corriente que todos conocemos. A partir de esto, concluye que la densidad de carga también debe satisfacer una ecuación de continuidad y, por lo tanto, la carga eléctrica se conserva.

Entonces, todo lo que finalmente le quedó a Max Born fue sacar la conocida conclusión.

"Por qué exactamente la realidad está organizada de tal manera que la solución a la ecuación de Schrödinger funciona solo cuando se ve como una amplitud de probabilidad".

Que no puede ser una onda ordinaria se puede ver al considerar N electrones. Entonces la función de onda es una ecuación en$3N$-espacio de configuración dimensional en lugar de en el espacio tridimensional físico. Por lo tanto, la interpretación como una onda en el espacio de 3 solo funciona en el sector de 1 partícula. Schroedinger aceptó eso pero (como Einstein) nunca estuvo completamente satisfecho con la interpretación probabilística.

Sin embargo, que la interpretación de la probabilidad es sólida se puede ver por el hecho bien conocido de que la mecánica estadística basada en ella toma casi la misma forma que en la mecánica estadística clásica. En el capítulo 10.5 de mi libro en línea se puede encontrar una derivación de la regla de Born del entorno de la mecánica estadística .

La ecuación de Schrödinger no es una ecuación que describa alguna densidad de probabilidad. Es una ecuación completamente determinista que toma como entrada un estado cuántico |$\Psi$> y te dice cómo evoluciona este estado con el tiempo. Si conoces el estado |$\Psi (t)$> en un momento determinado$t$y el hamiltoniano del sistema, entonces sabes exactamente (al menos formalmente) cuál es el estado |$\Psi (t')$> será a la vez$t' > t$.

El hecho de que la cantidad <$\Psi$|$\Psi$> describe la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en algún punto$x$en el espacio real (o de manera equivalente en alguna impulsión$p$en el espacio recíproco, dependiendo de la representación que estés usando) te cuenta una historia diferente. Está relacionado con el hecho de que la mayor parte de la información que puede conocer en el marco cuántico es la función de onda |$\Psi$>, contrariamente a la mecánica clásica donde se puede seguir la trayectoria de una partícula (conocer así su impulsión$p$y posición$x$en cada momento).

La "incertidumbre" que tiene en la mecánica cuántica no significa que carezcamos de información sobre el sistema o que la evolución no sea determinista. Simplemente significa que el determinismo cuántico es diferente al determinismo clásico.

Editar: para confirmar su comentario, sí, le dice exactamente cómo será el sistema en ese momento$t'$. Este "exactamente" significa que sabes cuál es el estado cuántico |$\Psi$> será en el momento$t'$, dado que sabías lo que era en ese momento$t$. No quiere decir que sepas cuál es la posición e impulsión exacta en este momento$t'$: esto está prohibido por las leyes de la mecánica cuántica (a saber, el principio de incertidumbre ). Lo máximo que puedes saber es la función de onda. ¡No te preocupes, todo esto se aclarará a medida que progreses en tu estudio de la mecánica cuántica!