Partícula en una caja 1-D y el principio de correspondencia

Question

Partícula en una caja 1-D y el principio de correspondencia

Rajesh D.

Considere la partícula en una caja unidimensional, conocemos muy bien las soluciones de la misma. Me gustaría ver cómo funcionará el principio de correspondencia en este caso, si consideramos la función de densidad de probabilidad de posición (pdf) de la partícula.

En el caso clásico, en ausencia de cualquier potencial, es justo asumir la posición pdf $P_{classic}$ de la partícula constante dentro de la caja y cero fuera de ella.

En el caso cuántico sabemos que es

{PAGS}_{q tu a norte t tu metro} (X) = \frac{2}{L} {pecado}^{2} (\frac{norte π X}{L})

$P_{quantum}(x) = \frac{2}{L} \sin^2(\frac{n\pi x}{L})$ dentro de la caja y cero fuera.

Una imagen vale más que mil palabras, así que aquí tomo una imagen del sitio web de una universidad (en realidad, Google) por lo que agradezco a los autores.

partícula en una caja 1-D

De la imagen podemos ver que cuando consideramos un número cuántico lo suficientemente grande $n$ , vemos que el $P_{Quantum}$ todavía se mueve y no importa cuán grande $n$ consideramos, sigue moviéndose y realmente no se molesta en converger a $P_{classic}$ , pero el consuelo es que coinciden en un sentido promedio.

Idealmente, para un problema tan fundamental como este, esperaría que la función $P_{quantum}(x)$ converger a $P_{classic}(x)$ , puntualmente . ¿Estoy pidiendo demasiado? Hay infinidad de tipos de $P_{quantum}$ pareo $P_{classic}$ en un sentido promedio, lo que significaría que puede haber un número infinito de teorías mecánicas cuánticas que obedecen el principio de correspondencia en el ajuste promedio, lo que creo que no es una propiedad muy atractiva de una teoría.

Mi pregunta es, ¿qué podemos hacer para que el pdf converja puntualmente al pdf clásico?

Afnix

Maravillosa pregunta. Estoy pensando en que probablemente la única restricción que le ponemos a la teoría cuántica es que debería ser consistente con el espectro observado de varias cantidades físicas y además debería reproducir el resultado clásico cuando la constante de Plank llega a cero. Pero si debería coincidir con el punto sabio, no lo sé. Esperando una buena explicación.

Respuestas (2)

Partícula en una caja 1-D y el principio de correspondencia

Maravillosa pregunta. Estoy pensando en que probablemente la única restricción que le ponemos a la teoría cuántica es que debería ser consistente con el espectro observado de varias cantidades físicas y además debería reproducir el resultado clásico cuando la constante de Plank llega a cero. Pero si debería coincidir con el punto sabio, no lo sé. Esperando una buena explicación.

dmckee --- gatito ex-moderador · Answer 1

Vale la pena señalar que, si bien el PDF cuántico aún exhibe fluxuaciones rápidas, llegan a ser de muy alta frecuencia, y cuando se mide la distribución con un instrumento físico, se introduce una resolución.

En algún momento, esa resolución llega a ser mucho mayor que la longitud de onda de las fluxuaciones y, de hecho, detecta la distribución clásica.

¡Entonces confías en la falta de instrumentos de medición! ¿Y si convergieran puntualmente? ¿Significaría eso que el argumento de la falta de dispositivo de medición desaparecería de la escena de QM?

Trimok · Answer 2

Trimok

Mi pregunta es, ¿qué podemos hacer para que el pdf converja puntualmente al pdf clásico?

Respuesta: Nada, si acepta los principios cuánticos.

Puede ver a continuación otro ejemplo con el oscilador armónico, con $N= 50$ , y ve el mismo comportamiento que le preocupa (comportamiento clásico en azul, comportamiento cuántico en rojo):

La razón fundamental es que la Mecánica Cuántica se trata de amplitudes de correlación y amplitudes de probabilidad, por lo que los conceptos estadísticos clásicos como probabilidades de correlación o probabilidades son una visión "bebé" del mundo físico. Por lo tanto, no puede evitar el "jiggling". El enfoque más simple es que las amplitudes de probabilidad, o amplitudes de correlación, para estados ligados, oscilan "naturalmente", esto se ha traducido en probabilidades como oscilaciones entre cero y valores "máximos", mientras que, para grandes números cuánticos, una "media" parece una probabilidad clásica.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Rajesh D.

¡Feliz Navidad! ¡Y gracias por la respuesta!... Lo que me parece interesante de tu respuesta es la frase "probabilidades" es una visión "bebé" del mundo físico. Por lo tanto, no puedes evitar "sacudir"... Bueno mi gran pregunta es un poco hipotética, supongamos, supongamos, si el QM está intacto con toda su explicación del mundo físico (espectros del átomo de hidrógeno, oscilador armónico, bla, bla, bla) ... PERO su pdf convergió puntualmente al de pdf de la teoría clásica en el límite n va infinito, tal como esperaba en esta pregunta ... Física y filosóficamente, ¿qué significaría eso?

terry bollinger

Rajesh D: No significaría nada ni física ni filosóficamente, porque estarías proponiendo un modelo que no se puede reconciliar con la realidad observable. La mecánica cuántica converge con la clásica solo porque las longitudes de onda se vuelven lo suficientemente finas como para volverse insignificantes según los estándares clásicos. El giro es otro ejemplo: comienza solo con arriba y abajo, luego comienza a agregar ángulos cada vez más finos a medida que aumenta el número de giro. El mensaje más grande de QM es que, en el fondo, todo son ondas, y las ondas insisten en hacer cosas como tener puntos nulos que no pueden ser suavemente clásicos.

Rajesh D.

@TerryBollinger: supongamos, supongamos, si el QM (o una nueva versión del mismo) está intacto con toda su explicación del mundo físico, pero aún así su pdf convergió al clásico en un punto ...

Rajesh D.

@Trimok: has calculado la curva azul, ¿cuál es la expresión formal que usaste para, en términos clásicos, quiero decir?

x, V, t

$x, V,t$ etc.,

V

$V$ siendo potencial.

Trimok

@RajeshD: De hecho, debe escribir una solución particular de la ecuación de movimiento, por lo que en el caso del oscilador armónico:

x = A \cos ω t

$x = A \cos \omega t$ . Aquí el potencial es

V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}

$V(x)=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ . La energía total es

E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2}

$E=\frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ . La probabilidad es proporcional a la inversa de la velocidad, es decir

p (x) \sim \frac{1}{| \dot{x} (x) |}

$p(x) \sim \dfrac{1}{|\dot x(x)|}$ . Entonces tienes que expresar

\dot{x}

$\dot x$ como una función de

x

$x$ , aquí tienes

| \dot{x} | = A ω | \sin ω t | = A ω \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}}

$|\dot x| = A\omega |\sin \omega t|=A\omega \sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}$ , así que finalmente

p (x) \sim \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{A^{2}}}}

$p(x) \sim \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}}$ ,...

Trimok

@RajeshD: ... el coeficiente de proporcionalidad definido por

\int_{- A}^{+ A} p (x) d x = 1

$\int_{-A}^{+A} p(x) dx = 1$

Rajesh D.

@Trimok: Muchas gracias. La probabilidad es inversamente proporcional al recíproco de la velocidad en ese punto. Gracias por ello y +1.

Partícula en una caja 1-D y el principio de correspondencia

Rajesh D.

Afnix

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dmckee --- gatito ex-moderador

Rajesh D.

Trimok

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terry bollinger

Rajesh D.

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Trimok

Trimok

Rajesh D.

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