¿Por qué el operador de campo bosónico en el espacio de momento contiene tanto el operador de creación como el de destrucción?

Para el campo fermiónico, la transformación del espacio real al espacio momentáneo es una transformación de Fourier simple

ψ † ( X ) = ∑ k C k † mi i k ⋅ X
Pero en el caso bosónico, el operador de campo es
ϕ ( X ) = ∑ k [ b − k † + b k ] mi i k ⋅ X
¿Cómo surge esta diferencia? ¿Cuál es el significado físico de esta diferencia?

No estoy seguro de lo que quieres decir. Puede elegir cualquier conjunto completo de funciones de partículas individuales { ϕ i ( X ) } i = 1 , . . . , ∞ y Ψ ( X ) = ∑ i b i ϕ i ( X ) , con [ b i , b j † ] = d i j . Por lo general, luego trunca la base para cualquier cálculo práctico.
la razón de esa expresión de ϕ no es la estadística bosónica, sino la realidad del campo (o hermiticidad del operador de campo). Un campo bosónico complejo se escribiría como ϕ † = ∑ α C α a α †
Sí, la segunda ecuación no es el operador de campo bosónico. La expresión análoga para los bosones es Ψ ( X ) † = ∑ k b k † mi i k X utilizando ondas planas como funciones base (normalización de módulo).

Respuestas (3)

Nunca he visto una expresión como la primera. Para un campo de fermiones escribiría

ψ ( X ) = ∑ k , s ( a k , s tu k , s mi − i k X + b k , s † v k , s mi i k X ) .
Dejando de lado varios detalles, a k , s es un operador de destrucción para una partícula con momento k y helicidad s , mientras b k , s † es un operador de creación para la antipartícula correspondiente. Por supuesto
ψ † ( X ) = ∑ k , s ( a k , s † tu k , s ∗ mi i k X + b k , s v k , s ∗ mi i k X ) .

Para un campo de bosones cargados se cumple una ecuación bastante análoga, mientras que para uno neutro, donde coinciden partículas y antipartículas, tendrías a está en lugar de b 's.

OP está hablando de un sistema de muchos cuerpos no relativista, es por eso que el campo de fermiones no contiene antipartículas.

El campo de Fermi obedece { ψ ( X ) , ψ † ( X ′ ) } = d 3 ( X − X ′ ) así que no necesitamos ambos a k y a k † en el campo ψ ( X ) para obtener esto de { a k , a k ′ † } = d k k ′ . Para el campo bose necesitamos [ ϕ ( X ) , ∂ t ϕ ( X ′ ) ] = i d 3 ( X − X ′ ) entonces necesitamos los dos b k y b k † en el campo para obtener un conmutador distinto de cero.

Creo que esto simplemente lleva la pregunta de por qué necesitamos esa relación de conmutación de aspecto divertido para un campo de bosones pero no para un campo de fermiones.
@tparker Buen punto. Estaba pensando en fonones donde Π ( X ) = ϕ ˙ en lugar de los bosones de Schrödinger (como los átomos de helio) donde Π ( X ) = i ϕ . En este último caso sólo necesitamos [ ϕ ( X ) , ϕ † ( X ′ ) ] = d 3 ( X − X ′ ) y ϕ Sólo tiene b k Es como el caso Fermi, y como lo explicó Kase anteriormente.

La diferencia en realidad no se reduce a bosónico versus fermiónico. En cambio, los dos tipos de campos surgen en diferentes contextos. El primer tipo de campo, que solo contiene una transformada de Fourier de un tipo de operador de escalera, surge típicamente en situaciones no relativistas donde no hay antipartículas. El último tipo de campo, que contiene tanto un operador de creación como de aniquilación, tiende a surgir en situaciones relativistas, o en situaciones no relativistas en las que la descripción de la teoría del campo efectivo tiene invariancia emergente de Lorentz y/o antipartículas. Cualquier tipo de campo puede consistir en operadores de escalera bosónicos o fermiónicos, pero son útiles en diferentes contextos y obedecen a relaciones de (anti)conmutación ligeramente diferentes.

¿Por qué el operador de campo bosónico en el espacio de momento contiene tanto el operador de creación como el de destrucción?
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