Estados ligados y longitud de dispersión

Considere la mecánica cuántica no relativista con un potencial de rango finito. El espectro del hamiltoniano tiene un sector discreto (posiblemente vacío), que corresponde a los estados ligados, y un sector continuo, que corresponde a los estados de dispersión. La función de onda asintótica de los estados de dispersión se puede caracterizar por cambios de fase. El pequeño límite de momento de los cambios de fase determina las longitudes de dispersión (y los volúmenes de dispersión, etc.).

Por la magia de la analiticidad existen algunas relaciones entre las energías vinculantes y los cambios de fase. Un ejemplo es el teorema de Levinson ( http://ajp.aapt.org/resource/1/ajpias/v32/i10/p787_s1 ). Otro ejemplo importante tiene que ver con los estados ligados poco profundos. Si hay un estado ligado poco profundo con energía$E=-E_B$, entonces la longitud de dispersión de la onda s a satisface$E_B=1/(ma^2)$. Esto se explica en la mayoría de los libros de texto sobre QM (estuve examinando el libro de Weinberg a principios de este año, y él tiene una sección completa dedicada a los estados ligados poco profundos).

Con respecto a tus preguntas:

1) Para estados ligados poco profundos,$E_B=1/(ma^2)$. En general, no hay relación directa excepto para enunciados "globales" como el teorema de Levinson.

2) La longitud de dispersión se define a través del límite de momento bajo del cambio de fase de dispersión; los cambios de fase determinan el comportamiento asintótico de los estados de dispersión.

3) llamamos negativo$a$atractivo y positivo$a$repulsivo porque las funciones de onda asintóticas se atraen o se expulsan, respectivamente. Además, el mecanismo más simple para pequeños negativos/positivos$a$es un débil potencial repulsivo/atrayente. Si hay un estado ligado poco profundo, entonces$a$es positivo. Esto significa que la onda de dispersión es expulsada ("repulsiva") aunque el potencial subyacente sea obviamente atractivo. Esto significa que a baja energía no se puede distinguir la dispersión de los potenciales débilmente repulsivos y los fuertemente atractivos con un estado límite poco profundo.