Importancia del operador de traducción magnética definido en la descripción de QHE fraccional

Un modelo mecánico cuántico en el que los operadores de traslación magnética son observables es una partícula cargada que se mueve sobre un toroide bidimensional en el fondo de un campo magnético uniforme perpendicular a la superficie del toroide. Por favor, vea por ejemplo el siguiente artículo de E. Onofri.

El hamiltoniano es el operador magnético de Schrödinger y el estado fundamental es el nivel más bajo de Landau. La solución completa muestra que la degeneración del nivel más bajo de Landau es igual al flujo magnético a través del área de la superficie del toro. Por lo tanto, el flujo magnético debe cuantificarse. Esta es la condición de cuantificación de Dirac. (Hay muchas otras formas de probar este resultado sin la necesidad de la solución completa porque la condición de cuantización de Dirac es un caso particular del teorema del índice ).

Una base de funciones de onda del nivel más bajo de Landau puede tomarse como las funciones theta de Jacobi ,$\theta_{\nu}(z, \tau)$dónde$z=x+iy$es la coordenada compleja en el toro,$\tau$es proporcional a la relación entre los toros generadores y$\nu$toma valores enteros entre$1$y la carga magnetica$N$.

La principal diferencia del problema de Landau en el caso del toro desde el plano es que los operadores de traslación magnética infinitesimales$\mathbf{p}-e\mathbf{A}$no son observables porque su acción sobre las funciones de onda se encuentra fuera del nivel más bajo de Landau. Sin embargo, traducciones finitas$e^{(\mathbf{p}-e\mathbf{A}).\mathbf{R}}$están bien definidos si$e^{i|R|}$es un$N$-ésima raíz de la unidad.

Esta configuración particular, sin embargo, no puede implementarse fácilmente en el laboratorio, ya que requeriría una carga magnética neta dentro del toro y hasta ahora no se han producido cargas magnéticas libres.

Sin embargo, este modelo se puede traducir al espacio de cantidad de movimiento. Aquí el toro es una zona de Brillouin de un$2D$celosía rectangular. La dinámica restringida en una banda se puede describir mediante una teoría efectiva en la que se agrega un término de conexión de Berry al hamiltoniano. Así, este problema se vuelve análogo al movimiento sobre el toro, pero en el espacio de cantidad de movimiento. Aquí, en contraste con el espacio real, las conexiones de Berry tienen cargas magnéticas no triviales (ficticias). Los observables físicos en el espacio real tienen observables análogos en el espacio de momento. La conductancia de Hall es proporcional a la carga magnética de la curvatura de Berry, por lo que la condición de cuantificación de Dirac es responsable de la cuantificación de la conductancia de Hall.