Condiciones de contorno en la integral de trayectoria holomorfa/de estado coherente

La pregunta de OP es esencialmente reflexionar (en el contexto de la integral de ruta de estado coherente/holomorfa) si un par de variables es un par complejo conjugado o$^1$variables verdaderamente independientes?

TL; DR: Bueno, depende.

Notación en esta respuesta: En esta respuesta, sea$z,z^{\ast}\in \mathbb{C}$denota dos números complejos independientes . Dejar$\overline{z}$denota el complejo conjugado de$z$.

Recuerde que el estado de ket coherente es

$$|z \rangle~:=~e^{\hat{a}^{\dagger}z/\hbar}|0 \rangle, \qquad \hat{a}|z \rangle~=~z|z \rangle , \qquad [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]~=~\hbar \hat{\bf 1}.\tag{1}$$

es costumbre$^2$para definir el estado de sostén coherente

$$\langle z | ~:=~ |\bar{z} \rangle^{\dagger} ~\stackrel{(1)}{=}~\langle 0 |e^{z\hat{a}/\hbar}\tag{2}$$

en términos del estado de ket coherente (1) al incluir una conjugación compleja, cf. por ejemplo, ref. 1. En otras palabras, tenemos la regla conveniente de que

$$\langle z^{\ast} | ~\stackrel{(2)}{=}~ \langle 0 |e^{z^{\ast}\hat{a}/\hbar}, \qquad \langle z^{\ast} |\hat{a}^{\dagger} ~=~z^{\ast} \langle z^{\ast} | . \tag{3}$$

Con esta convención (2), la relación de completitud se lee$^3$

$$\int_{\mathbb{C}} \frac{d\bar{z}~dz}{2 \pi i\hbar} e^{-\bar{z}z/\hbar} |z \rangle\langle \bar{z} |~=~\hat{\bf 1}.\tag{4}$$

Es importante darse cuenta de que los estados coherentes son un conjunto demasiado completo de estados

$$\langle z^{\ast}|z \rangle~=~e^{z^{\ast} z/\hbar} \tag{5}$$

con superposiciones no ortogonales. La integral de trayectoria de estado coherente dice

$$\begin{align} \langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~=~& \int_{z(t_i)=z_i}^{\bar{z}(t_f)=z^{\ast}_f} \! {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z ~e^{iS[z,\bar{z}]/\hbar}, \cr {\cal D}\bar{z}~{\cal D}z~:=~& \prod_{n=1}^N \frac{d\bar{z}_n~dz_n}{2 \pi i\hbar}, \end{align}\tag{6}$$

$$\begin{align} iS[z,z^{\ast}]~:=&~ (1-\lambda)z^{\ast}(t_f)~z(t_f) + \lambda z^{\ast}(t_i) z(t_i) \cr +& \int_{t_i}^{t_f}\! dt \left[\lambda \dot{z}^{\ast} z -(1-\lambda) z^{\ast} \dot{z}- iH_N(z^{\ast},z) \right],\end{align}\tag{7}$$

dónde$\lambda\in \mathbb{R}$es una constante real de la que en realidad no depende la acción (7), debido al teorema fundamental del cálculo . La función hamiltoniana

$$H_N(z^{\ast},z)~:=~\frac{\langle z^{\ast}|\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})|z \rangle}{\langle z^{\ast}|z \rangle}\tag{8}$$

es la función /símbolo normal/ordenado por Wick correspondiente al operador cuántico hamiltoniano

$$\hat{H}(\hat{a}^{\dagger},\hat{a})~=~\left. e^{\hat{a}^{\dagger}\frac{\partial}{\partial z^{\ast}}}e^{\hat{a}\frac{\partial}{\partial z}}H_N(z^{\ast},z)\right|_{z=0=z^{\ast}}.\tag{9}$$

Con respecto al orden de los operadores en la integral de trayectoria, consulte también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

En la integral de ruta estándar de Feynman, hay 2 condiciones de contorno reales (BC), generalmente BC de Dirichlet

$$q(t_i)~=~q_i \qquad\text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f.\tag{10}$$

La posición$\hat{q}/\sqrt{2}$y el impulso$\hat{p}/\sqrt{2}$Los operadores están relacionados con

$${\rm Re}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}}{2} \qquad\text{and}\qquad{\rm Im}(\hat{a})~:=~\frac{\hat{a}-\hat{a}^{\dagger}}{2i},\tag{11}$$

respectivamente. En la integral de trayectoria de estado coherente (6), hay 2 BC complejos (= 4 reales)

$$z(t_i)~=~z_i \qquad\text{and}\qquad \bar{z}(t_f)~=~z^{\ast}_f. \tag{12}$$

En otras palabras, especificamos tanto la posición inicial como el momento inicial, violando ingenuamente el HUP . Similar para el estado final. Esto está relacionado con la sobrecompletitud (5) de los estados coherentes.

Los BC demasiado completos (12) significan que normalmente no hay un camino clásico físico subyacente con

$$z^{\ast}~=~\bar{z}\tag{13}$$

que cumple [además de las ecuaciones de Euler-Lagrange (EL)

$$\dot{z}~\approx~-i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z^{\ast}} \quad\text{and}\quad \dot{z}^{\ast}~\approx~i\frac{\partial H(z,z^{\ast})}{\partial z}, \tag{14}$$

es decir, las ecuaciones de Hamilton] todos los BC (12) simultáneamente a menos que sintonicemos los BC (12) adecuadamente, cf. por ejemplo, ref. 1. La afinación precisa depende de la teoría en cuestión.

Sin embargo, en principio siempre podemos encontrar un camino clásico$t\mapsto (z_0(t),z_0^{\ast}(t))$en el doble de variables que satisface las ecs. (12) y (14) pero no necesariamente la ec. (13). Entonces podemos usar la teoría de funciones complejas para deformar$^4$el contorno de integración en la integral de trayectoria de estado coherente para integrar solo sobre fluctuaciones cuánticas$\eta$

$$\langle z_f^{\ast}, t_f | z_i, t_i \rangle ~\stackrel{(6)}{=}~ \int_{\eta(t_i)=0}^{\bar{\eta}(t_f)=0} \! {\cal D}\bar{\eta}~{\cal D}\eta ~e^{iS[z_0+\eta,z_0^{\ast}+\bar{\eta}]/\hbar}, \tag{15}$$

y de esta manera aún lograr una aproximación de fase estacionaria/WKB alrededor de un camino clásico$(z_0,z_0^{\ast})$.

Referencias:

1. LS marrón, QFT; Sección 1.8.

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$^1$Para obtener más información sobre la conjugación compleja y la independencia de las variables, consulte también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

$^2$ Notabene: Algunos autores no incluyen una conjugación compleja en la definición (2), cf. por ejemplo Wikipedia !

$^3$Con el orden mostrado, las fórmulas en esta respuesta también funcionan para la integral de ruta de estado coherente Grassmann-impar/fermiónico, excepto que se debe omitir el factor de normalización$2\pi i$en ecs. (4) y (6).

$^4$La deformación del contorno de integración es más fácil de justificar usando variables de posición y momento

$$q~=~\frac{z+z^{\ast}}{\sqrt{2}} \qquad\text{and}\qquad p~=~\frac{z-z^{\ast}}{\sqrt{2}i} ,\tag{16}$$

eso puede ser complejo.