Cálculo del núcleo usando integrales de trayectoria para lagrangianos cuadráticos

Question

Cálculo del núcleo usando integrales de trayectoria para lagrangianos cuadráticos

Anónimo

Estoy leyendo a Feynman y Hibbs sobre Integrales de trayectoria. En la sección 3.5, muestran que el kernel para un lagrangiano de la forma $L=a(t)\dot{x}^2+b(t)\dot{x}x+c(t)x^2+d(t)\dot{x}+e(t)x+f(t)$ es $K(b,a)=e^{\frac{i}{\hbar}S_{cl}[b,a]}F(t_a,t_b)$ . En general, ¿cómo calculo el factor $F(t_a,t_b)$ . En los problemas posteriores a la sección, he calculado la acción clásica, para la partícula en un campo magnético, y el oscilador armónico forzado. Pero no sé cómo calcular los prefactores. Por ejemplo, este es el problema 3-11 de Feynman y Hibbs le pide que calcule el núcleo del oscilador armónico impulsado por una fuerza externa $f(t)$ . El lagrangiano es $L=\frac{m}{2}\dot{x}^2-\frac{m\omega^2}{2}x^2+f(t)x$ . La respuesta es

k = \sqrt{\frac{metro ω}{2 π i ℏ pecado ω T}} {mi}^{\frac{i}{ℏ} S_{C yo}}

$K=\sqrt{\frac{m \omega}{2 \pi i \hbar \sin{\omega T}}}e^{\frac{i}{\hbar}S_{cl}}$

dónde $T=t_f-t_i$ y $S_{cl}$ es la acción clásica. ¿Cómo puedo ver que lo anterior es el factor que multiplica el exponente directamente o mediante un cálculo?

Respuestas (2)

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qmecanico · Answer 1

el prefactor $F(t_f,t_i)$ se da en la ecuación (3-50) de la Ref. 1 como

F (t_{F}, t_{i}) =

$F(t_f,t_i)~=~\qquad$

\begin{matrix} (3-50') & \int_{y (t_{i}) = 0}^{y (t_{F}) = 0} D y Exp {\frac{i}{ℏ} \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t [a (t) \dot{y} (t)^{2} + b (t) y (t) \dot{y} (t) + C (t) y (t)^{2}]} . \end{matrix}

$\tag{3-50'} \int_{y(t_i)=0}^{{y(t_f)=0}}\!\!\! {\cal D}y~\exp\left\{\frac{i}{\hbar} \int_{t_i}^{t_f} \!\! dt[a(t) \dot{y}(t)^2+ b(t) y(t)\dot{y}(t)+c(t) y(t)^2 ] \right\}.$

Dudo que exista una fórmula cerrada para la integral de trayectoria (3-50') para coeficientes arbitrarios $a(t)$ , $b(t)$ , y $c(t)$ con dependencia temporal explícita.

Para coeficientes independientes del tiempo $a$ , $b$ , y $c$ , la evaluación de la integral de trayectoria gaussiana (3-50') se muestra en muchos libros de texto, por ejemplo, en la Sección 3-11 de la Ref. 1 o el Apéndice A de la Ref. 2.

Referencias:

RP Feynman & AR Hibbs, Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria, 1965.
J. Polchinski, Teoría de cuerdas vol. 1, 1998.

Trimok · Answer 2

No tengo el libro de Feynman y Hibbs, pero creo que, siendo la acción cuadrática, tendrás que usar la raíz cuadrada del determinante de la segunda matriz (coordenadas) derivada de la acción clásica.

Lo confirmarás probando que, cuando $t_b \rightarrow t_a$ , entonces $K(b, a, t_b, t_a) \rightarrow \delta(b - a)$

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Anónimo

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qmecanico

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