¿Cuándo es válida la teoría de la perturbación de muchos cuerpos?

Estoy calculando los valores esperados (térmicos, independientes del tiempo) utilizando la teoría de perturbaciones de muchos cuerpos, pero no estoy seguro de cómo calcular qué valores puede tomar el parámetro en el que estoy expandiendo la serie de perturbaciones.

Leí que es cuando los elementos de la matriz, ⟨ i | H pag mi r t | j ⟩ dónde H pag mi r t es el término perturbativo del hamiltoniano y | i ⟩ y | j ⟩ son los vectores propios del hamiltoniano no perturbado, son mucho más pequeños que la diferencia de energía entre i y j . Pero realmente no entiendo qué significa eso, o cómo me ayuda a calcular qué valores puede tomar mi parámetro de perturbación. ¿Hay algún método que pueda usar para resolverlo?

Editar:

Como se solicitó, para hacer esto concreto, tengo un modelo Hubbard fermiónico unidimensional con hamiltoniano

H = − t ∑ ⟨ yo , metro ⟩ ( C yo † C metro + h . C . ) + tu ∑ yo ( norte yo ↑ − 1 / 2 ) ( norte yo ↓ − 1 / 2 )

Tengo un caso especial donde sé que tu es muy pequeño y quiero usar la teoría de la perturbación de muchos cuerpos para ver sus efectos en las funciones de correlación. Calculo las funciones de correlación usando el método integral funcional (es decir, calculando una función de partición funcional). Para este caso, ¿cómo haría para averiguar qué tan pequeño tu tiene que ser para que la teoría de la perturbación sea válida?

En segundo lugar, (si esta debe ser una pregunta separada, ¡hágamelo saber!) si en cambio tengo una pregunta aleatoria tu , dependiendo de su posición en la red,

H = − t ∑ ⟨ yo , metro ⟩ ( C yo † C metro + h . C . ) + ∑ yo tu yo ( norte yo ↑ − 1 / 2 ) ( norte yo ↓ − 1 / 2 )

Luego puedo usar una técnica integral funcional similar, pero tomar un promedio sobre la función de partición funcional (por ejemplo, sobre una distribución gaussiana). Este promedio elimina el tu yo y hojas Δ , la varianza de la distribución sobre la que hemos promediado. En este caso lo es Δ en el que se expande la serie de perturbaciones. ¿Cómo haría para encontrar qué tan pequeño Δ tiene que ser para que la serie de perturbaciones sea válida?

No quiero una respuesta que sea cierta para ningún sistema, solo quiero entender cómo encontrarla para cualquier sistema. Entonces, si alguien conoce otro sistema en el que se muestre cuán pequeño debe ser el término de expansión, hágamelo saber.

Gracias.

¿Es many-bodyimportante en tu pregunta? Para mí, parece que una lectura cuidadosa sobre la teoría de la perturbación ayudaría.
@misha Sí, muchos cuerpos son importantes. Calculo los valores esperados de una función de partición funcional. He leído sobre este tipo de teoría de la perturbación en muchos lugares, pero ninguno de los que he encontrado se centra en esto. Si conoces alguno, ¡sería genial!
Debe decir que está solicitando un tratamiento perturbativo de un salto espacialmente variable en un modelo de Hubbard, esto hace que el problema sea concreto. No hay una respuesta general a la pregunta, porque depende sensiblemente de cosas que son imposibles de enunciar en términos de límites de elementos de matriz crudos.
@Calvin Tratando de generalizar la pregunta, perdiste algunos detalles importantes. No, no conozco muchos de los modelos de Hubbard. Sin embargo, su idea de que la teoría de la perturbación debería ser diferente de la teoría de la perturbación en otros lugares parece antinatural. Por lo tanto, supongo que su pregunta no se trata de la teoría de la perturbación, sino de cómo aplicar la perturbación al problema particular que (desafortunadamente) no formuló en la pregunta.
@Misha He actualizado mi pregunta. La razón por la que lo hice general es que quiero saber cuándo la perturbación es válida para cualquier modelo, no solo para este. Con eso no me refiero a algo que sea cierto para cualquier sistema; Quiero decir que me gustaría entender cómo encontrar un sistema. Si conoce algún ejemplo (no solo con el modelo Hubbard), indíqueme la dirección correcta. Gracias.
@Ron He editado mi pregunta, además, mire el comentario que le escribí a Misha para ver por qué lo hice general. - No quiero una respuesta que sea verdadera para ningún sistema, solo quiero entender cómo encontrarla para cualquier sistema. Gracias.

Respuestas (3)

Su "parámetro de perturbación" debería ser algo que establezca la escala de H pag mi r t -- es decir, el tamaño de los elementos de la matriz que especificó en comparación con las energías desnudas del problema imperturbable, del cual conoce la solución exacta. Para ver por qué esto es así, solo necesita observar la contribución explícita de segundo orden de la teoría de la perturbación (¡no degenerada!), por ejemplo, para el estado fundamental:

mi 0 ( 2 ) = − ∑ j ≠ 0 ⟨ 0 | H pag mi r t | j ⟩ ⟨ j | H pag mi r t | 0 ⟩ mi j − mi 0

Puede leer que esto solo será una pequeña corrección (y tiene que ser una pequeña corrección si queremos truncar la expansión aquí) si puede justificar que esos elementos de la matriz sean más pequeños que la diferencia de energía entre los estados. Si no puede hacer eso (digamos, no tiene control sobre la fuerza de la perturbación), entonces no puede confiar en la expansión de la perturbación.

Edición 1: cuando derivamos la expansión de la perturbación, la receta habitual es hacer algo en la línea H = H 0 + α H pag mi r t , como usted dice, luego expanda en alfa, pero debemos tener en cuenta que este tipo α es un dispositivo de contabilidad que nos permite asegurarnos de agrupar todos los términos correctamente por orden alfabético. Una vez que hayamos terminado de llevar la contabilidad y agrupar los términos, α → 1 siempre _ No es parte de la física y no es nuestro para jugar. Nos expandimos en él como dispositivo formal. El pequeño parámetro real va a ser la proporción de la escala de energía total de H pag mi r t a H 0 .

Déjame dar un ejemplo. El modelo Hubbard de fermiones tiene dos términos: (1) una interacción local fácilmente diagonalizada con una escala de energía de Coulomb llamada tu ; (2) un término de salto de vecino más cercano que no se puede diagonalizar en la misma base, con una escala de energía (~el ancho de banda) llamada t . Si podemos confiar en la teoría de la perturbación a partir de esta base [es decir, tomando el salto como una perturbación] depende solo de la escala adimensional t / tu , y no el parámetro contable que usamos para derivar los términos formales de la expansión.

Sí, por parámetro de perturbación quiero decir α con el término α H pag mi r t en el hamiltoniano. Pero considero el límite termodinámico, por lo que no hay forma de que pueda calcular si es pequeño para todos los posibles. i y j de todos modos. ¿Hay otra manera de determinar qué tan pequeño α tiene que ser (o he entendido mal)?
Hm. Podría ayudarme a entender su pregunta si me dice el modelo explícito que está usando. Voy a editar mi respuesta y me dirás si no entiendo por completo el punto. :)
Para mí, el parámetro α es el t en el modelo fermion Hubbard, y quiero ampliar en α . El modelo Hubbard está bien como ejemplo, pero puedo editar la pregunta para incluir más detalles de mi propio modelo si lo desea.
"la escala de energía total de $H_{\rm{pert}$" puede implicar la densidad de estados y/o la temperatura del sistema.
@wsc En realidad, más específicamente, si tengo un modelo Hubbard, pero con t depende de dónde se encuentre en el sistema (es decir, depende de yo , la posición). luego hago un promedio norte réplicas de la función de partición para eliminar el t yo , y luego me quedo con un parámetro Δ que es la varianza de la distribución de t yo . Es Δ Luego me expando. Esta es una pregunta diferente, pero me gustaría saber la respuesta tanto a esto como al caso sin promediar usando t .
Este es un sistema muy interesante y debe mencionarse de manera destacada en el cuerpo de la pregunta. No existe una respuesta general independiente del sistema para el dominio de validez o para la precisión de una serie de perturbaciones.
@wsc ¿Alguna idea?
Mmm. No precisamente. Quiero decir, parece que quieres una regla cuantitativa, algo así como 'en este orden de la teoría de la perturbación, mi radio de convergencia es t / tu hasta $NUMBER.' Ni siquiera conozco una forma dependiente del sistema para estimar eso, solo tienes que calcular y observar cómo tu serie converge (u oscila y diverge :( que así sea, hay trucos para eso...)

Para evaluar si la teoría de la perturbación es aplicable en un caso particular, puede aplicar la teoría de la perturbación variacional:

Incorpore algunos parámetros en su teoría de comparación libre, con los correspondientes contratérminos en la interacción, y haga la teoría de la perturbación en función de estos parámetros. Por lo general, la mejor opción de parámetro es aquella en la que las respuestas dependen menos de pequeños cambios en los parámetros, y cuánto cambian las respuestas le da una idea de la precisión que puede esperar de su cálculo.

En algunos casos, la mejora es drástica; ver, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Variational_perturbation_theory

Las renormalizaciones en la teoría cuántica de campos son una instancia particular de la teoría de la perturbación variacional donde hacer la variación es esencial para obtener resultados finitos. Vea mi artículo ''Renormalización sin infinitos - un tutorial'' http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf

Creo que primero deberíamos definir exactamente de qué estamos hablando: la forma habitual de definir la teoría de permutación de muchos cuerpos a temperatura finita es dividir el hamiltoniano en dos partes H = H 0 + λ V y luego expanda los valores de expectativa térmica en la serie de perturbaciones dependientes del tiempo (también conocida como serie Dyson):

⟨ A ⟩ = 1 Z T r ( mi − β H A ) = 1 Z ∑ k = 0 ∞ ( − λ ) k k ! ∫ 0 β d k τ   mi − β H 0   T [ A   V ( τ 1 ) ⋯ V ( τ k ) ]

La cuestión de si esto es "válido" tiene en realidad varias partes:

  1. ¿Esta serie converge si vamos al orden infinito ? Para el modelo de Hubbard, y de hecho para cualquier modelo de celosía finita e impurezas, la respuesta es sí , porque la celosía regulariza la divergencia ultravioleta de la serie. (Necesitamos ser un poco más cuidadosos con el límite termodinámico).

  2. ¿Todo efecto es perturbativo, es decir, podemos truncar la serie de perturbaciones en algún punto para obtenerlo ? Aquí, sorprendentemente, la respuesta es no , incluso para valores pequeños de λ . Un famoso contraejemplo es el efecto Kondo, que es una resistencia mínima anómala en metales con una pequeña cantidad de impurezas magnéticas. Este efecto no es perturbativo.

  3. ¿Podemos usar los términos de orden superior de la serie para medir el error de la expansión ? Aquí la respuesta es, lamentablemente, no de manera significativa . Esto es complicado en los sistemas de estado sólido: mientras que, por ejemplo, su energía total puede converger rápidamente con el orden de expansión, los efectos de muchos cuerpos que están en una escala mucho más pequeña a menudo reordenan sus niveles de energía, por lo que aún puede terminar con el orden de expansión. estado fundamental incorrecto.

    Para hacer esto más concreto, tomemos la interacción entre electrones tu como parámetro de expansión. El primer término de la expansión de energía está dado por Hartree-Fock:

    mi ( 1 ) = ∑ i j k yo ( tu i j k yo − tu i j yo k ) ⟨ C i † C k ⟩ ⟨ C j † C yo ⟩
    Básicamente, para cualquier sistema de estado sólido, Hartree-Fock es, con mucho, la mayor contribución a la energía electrónica: su escala característica es de 10 eV o 110 000 K, mientras que la escala de energía para, por ejemplo, el efecto Kondo es típicamente del orden de 10 a 100 K. Por lo tanto, su criterio debería funcionar, y Hartree-Fock debería darnos una respuesta suficientemente buena para las propiedades de un sólido o una molécula. Para muchos materiales, esto es realmente cierto, pero hay sistemas, los más famosos sistemas fuertemente correlacionados, donde Hartree-Fock falla catastróficamente, produciendo un estado fundamental incorrecto, espectros de excitación incorrectos, etc.

¿Cuándo es válida la teoría de la perturbación de muchos cuerpos?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v