Derivación de la integral de trayectoria para condiciones de contorno periódicas

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Derivación de la integral de trayectoria para condiciones de contorno periódicas

Física
integral de trayectoria
mecánica cuántica
función de partición
condiciones de borde

David

Estoy pensando en integrales de ruta con el formalismo de tiempo euclidiano, donde tengo función de partición $Z=\operatorname{Tr} e^{-\beta \hat H}$ . Estoy acostumbrado a la siguiente derivación de la integral de ruta:

\begin{aligned} Z & = \int_{Ω} ⟨ X_{0} | {mi}^{- β \hat{H}} | X_{0} ⟩ d X_{0} \\ = ∭_{Ω^{norte}} d X_{0} \dots d X_{norte - 1} ⟨ X_{0} | {mi}^{- Δ τ \hat{H}} | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | (\dots) | X_{norte - 1} ⟩ ⟨ X_{norte - 1} | {mi}^{- Δ τ \hat{H}} | X_{0} ⟩ \\ = ⋮ \\ = \int [D X] {mi}^{- \int_{0}^{β} L d τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\int_{\Omega} \langle x_0|e^{-\beta \hat H}|x_0\rangle dx_0\\ &=\iiint_{\Omega^N} dx_0\cdots dx_{N-1} \langle x_0|e^{-\Delta\tau\hat H}|x_1\rangle\langle x_1| (\ldots) |x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-\Delta \tau \hat H}|x_0\rangle \\ &=\vdots\\ &=\int [Dx] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \\ \end{align*}$

Esto se basa en la aplicación repetida de la identidad. ${\bf 1}=\int_{\Omega}|x\rangle\langle x|dx$ ( $\Omega$ siendo el volumen en cuestión), y la traza impone periodicidad en tiempo euclidiano $x(\tau)=x(0)$ . Mi pregunta es: ¿cómo puedo guardar esta derivación si pongo una condición de límite periódica en el espacio?

Para concretar considero una partícula en una caja de tamaño $2\pi$ . Si la caja tiene condiciones de contorno de Dirichlet, la base adecuada de los estados propios es $\psi_n^d(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(\frac{n\theta}{2})$ , la relación de ortogonalidad

\int_{0}^{2 π} ψ_{norte}^{d} (θ)^{*} ψ_{metro}^{d} (θ) d θ = d_{norte metro},

$\int_0^{2\pi}\psi_n^d (\theta)^*\psi_m^d(\theta)d\theta=\delta_{nm},$ y la relación de completitud

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{π} pecado (\frac{norte θ}{2}) pecado (\frac{norte θ^{'}}{2}) = d (θ - θ^{'}) .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\pi}\sin(\frac{n \theta}{2})\sin(\frac{n \theta'}{2})=\delta(\theta-\theta').$ Cada vez que insertamos la identidad o tomamos el rastro, realmente estamos usando esta resolución. Deberíamos obtener la siguiente función de partición, donde las rutas están restringidas para tener

θ (τ) \in [0, 2 π]

$\theta(\tau)\in [0,2\pi]$ :

\begin{aligned} Z & = \sum_{norte = 1}^{\infty} {mi}^{- β \frac{ℏ^{2}}{2 metro} {(\frac{norte}{2})}^{2}} \\ = \int [D θ] {mi}^{- \int_{0}^{β} L d τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{n=1}^\infty e^{-\beta \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{n}{2}\right)^2}\\ &=\int [D\theta] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \end{align*}$

Si tenemos condiciones de frontera periódicas, tenemos $\psi^p_k(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ik\theta}$ para cualquier entero $k$ , y relación de completitud

\sum_{k \in Z} \frac{1}{2 π} {mi}^{i k (θ - θ^{'})} = d (θ - θ^{'}) .

$\sum_{k\in\mathbb{Z}} \frac{1}{2\pi}e^{ik(\theta-\theta')}=\delta(\theta-\theta').$ Deberíamos obtener la siguiente integral de trayectoria que incluye una suma sobre números de devanado y permite

θ (τ)

$\theta(\tau)$ salir de la región

[0, 2 π]

$[0,2\pi]$ .

\begin{aligned} Z & = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} 2 {mi}^{- β \frac{ℏ^{2}}{2 metro} k^{2}} \\ = \int [D θ] {mi}^{- \int_{0}^{β} L d τ} \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=1+\sum_{k=1}^\infty 2e^{-\beta \frac{\hbar^2}{2m}k^2}\\ &=\int [D\theta] e^{-\int_0^\beta Ld\tau} \end{align*}$

En el segundo caso, ¿cómo puedo derivar esto? Parece que la clave debe estar en las dos resoluciones diferentes de la identidad.

No tengo un problema con la intuición, solo con las matemáticas para resolver la identidad con estas dos condiciones límite diferentes.

Sunyam

El libro de Kleinert tiene un capítulo 6 dedicado a las expresiones integrales de trayectoria para propagadores de partículas que viven en espacios con restricciones topológicas.

David

@Sunyam, gracias, ¡parece que la derivación exacta a la que me estoy aferrando se proporciona allí!

Quillo

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Respuestas (1)

Derivación de la integral de trayectoria para condiciones de contorno periódicas

El libro de Kleinert tiene un capítulo 6 dedicado a las expresiones integrales de trayectoria para propagadores de partículas que viven en espacios con restricciones topológicas.
@Sunyam, gracias, ¡parece que la derivación exacta a la que me estoy aferrando se proporciona allí!
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/693806/226902 physics.stackexchange.com/q/729770/226902 physics.stackexchange.com/q/220790/226902

David · Answer 1

Como señaló Sunyam en el comentario, p. 578 de Kleinert "Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets" cubre la derivación básicamente con la misma terminología que estoy usando. La clave está precisamente en las diferentes formas de escribir $|k\rangle$ .

Condiciones de contorno periódicas.

Denotar $\Omega=[0,2\pi]$ . tenemos un hamiltoniano general $H(-i\partial_x,\hat{x})$ . Queremos sumar los siguientes estados propios de energía (= estados propios de impulso):

| k ⟩ = \int \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{i k X} | X ⟩ d X

$|k\rangle=\int\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}|x\rangle dx$

Todavía podemos empezar con la evaluación $Z$ tiene una suma sobre estados propios de posición:

\begin{aligned} Z & = \int d X_{0} ⟨ X_{0} | {mi}^{- β H} | X_{0} ⟩ \\ = \int d X_{0} \dots d X_{norte - 1} ⟨ X_{0} | {mi}^{- Δ τ H} | X_{1} ⟩ ⟨ X_{1} | \dots | X_{norte - 1} ⟩ ⟨ X_{norte - 1} | {mi}^{- Δ τ H} | X_{0} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\int dx_0\langle x_0 | e^{-\beta H}|x_0\rangle\\ &=\int dx_0\cdots dx_{N-1}\langle x_0 | e^{-\Delta \tau H}|x_1\rangle\langle x_1|\cdots | x_{N-1}\rangle\langle x_{N-1}|e^{-\Delta \tau H}|x_0\rangle \end{align*}$

La clave, de Kleinert, es evaluar el producto interno de una manera inteligente, tomando nota de que:

\begin{aligned} ⟨ X_{norte - 1} | X_{norte} ⟩ & = \sum_{k} ⟨ X_{norte - 1} | k ⟩ ⟨ k | X_{norte} ⟩ \\ = \sum_{k} \frac{1}{2 π} {mi}^{i k (X_{norte} - X_{norte - 1})} \\ = \sum_{ℓ} d (X_{norte} - X_{norte - 1} + 2 π ℓ) \\ = \sum_{ℓ_{norte}} \int \frac{d {pag}_{norte}}{2 π} Exp (i {pag}_{norte} (X_{norte} - X_{norte - 1} + 2 π ℓ_{norte})) \end{aligned}

$\begin{align*} \langle x_{n-1}|x_n\rangle&=\sum_k\langle x_{n-1}|k\rangle\langle k | x_n\rangle \\ &=\sum_k \frac{1}{2\pi}e^{ik(x_n-x_{n-1})}\\ &=\sum_\ell \delta(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell)\\ &=\sum_{\ell_n} \int\frac{dp_n}{2\pi}\exp\left( i p_n(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell_n) \right) \end{align*}$

Entonces, en este punto, tenemos:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ_{0} \dots ℓ_{norte - 1}} \int_{0}^{2 π} d X_{0} \dots d X_{norte - 1} \int_{R} \frac{d {pag}_{0} \dots d {pag}_{norte - 1}}{(2 π)^{norte}} Exp \sum_{norte} (i {pag}_{norte} (X_{norte} - X_{norte - 1} + 2 π ℓ_{norte}) - Δ τ H ({pag}_{norte}, X_{norte})) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell_0\cdots\ell_{N-1}}\int_0^{2\pi} dx_0\cdots dx_{N-1} \int_\mathbb{R}\frac{dp_0\cdots dp_{N-1}}{(2\pi)^N}\exp\sum_n\left( i p_n(x_n-x_{n-1}+2\pi\ell_n)-\Delta\tau H(p_n,x_n)\right) \end{align*}$

La siguiente manipulación puede deshacerse de la suma sobre $\ell$ :

\int_{0}^{2 π} d X \sum_{ℓ} F (X + 2 π ℓ) = \int_{- \infty}^{\infty} d X F (X)

$\int_0^{2\pi} dx\sum_\ell f(x+2\pi\ell)=\int_{-\infty}^\infty dx f(x)$

Hacemos este truco en $x_1$ , entonces $x_2$ , etc. hasta llegar al final de la cadena.

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ_{0}} \int_{0}^{2 π} d X_{0} \int_{R^{2 norte - 1}} \frac{d X_{1} \dots d X_{norte - 1} d {pag}_{0} \dots d {pag}_{norte - 1}}{(2 π)^{norte}} \\ \cdot Exp (\sum_{norte = 1}^{norte - 1} (i {pag}_{norte} (X_{norte} - X_{norte - 1}) - Δ τ H ({pag}_{norte}, X_{norte})) + i {pag}_{0} (X_{0} - X_{norte - 1} + 2 π ℓ) - Δ τ H ({pag}_{0}, X_{0})) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell_0}\int_0^{2\pi} dx_0 \int_\mathbb{R^{2N-1}}\frac{dx_1\cdots dx_{N-1} dp_0\cdots dp_{N-1}}{(2\pi)^N}\\ &\cdot\exp\left(\sum_{n=1}^{N-1} (i p_n(x_n-x_{n-1})-\Delta\tau H(p_n,x_n))+i p_0(x_0-x_{N-1}+2\pi\ell)-\Delta\tau H(p_0,x_0)\right) \end{align*}$

Esto no se puede poner en el formulario $\sum_\ell f(x_0+2\pi\ell)$ (debido al factor de $\exp-ip_1x_0$ ), por lo que nos queda una suma sobre los números de devanado y nuestra integral de trayectoria en el espacio de fase:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ} \int_{X (0) = X (τ) + 2 π ℓ} D [X] D [pag] Exp (\int_{0}^{β} d τ (i pag \partial_{τ} X - H (pag, X))) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell}\int_{x(0)=x(\tau)+2\pi\ell} \mathcal{D}[x]\mathcal{D}[p]\exp(\int_0^\beta d\tau\left( i p\partial_\tau x-H(p,x)\right)) \end{align*}$

También podrías enchufar $H=p^2/(2m)+V(x)$ y evaluar el $p$ integrales para encontrar la versión del espacio no fase:

\begin{aligned} Z & = \sum_{ℓ} C \int_{X (0) = X (τ) + 2 π ℓ} D [X] Exp (\int_{0}^{β} d τ (- \frac{metro}{2} {\dot{X}}^{2} - V (X)) \end{aligned}

$\begin{align*} Z&=\sum_{\ell}C\int_{x(0)=x(\tau)+2\pi\ell} \mathcal{D}[x]\exp(\int_0^\beta d\tau\left( - \frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)\right) \end{align*}$

(dónde $C=\sqrt{\frac{m}{2\pi\Delta\tau}}^N$ es de evaluar la $p$ integrales)

Derivación de la integral de trayectoria para condiciones de contorno periódicas

David

Sunyam

David

Quillo

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David

Condiciones de contorno periódicas.

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