Paradoja en la derivación de la integral de trayectoria de campos cuánticos

En Peskin p.282, se dice: "La fórmula integral funcional general (9.12) derivada en la última sección es válida para cualquier sistema cuántico, por lo que debería ser válida para una teoría cuántica de campos". (9.12) es la fórmula
$U(q_a,q_b,T)=(\prod_i\int Dq(t)Dp(t))\exp[i\int_0^T dt(\sum_ip^i\dot{q}^i-H(q,p)]$

Al derivar esta fórmula, los operadores de identidad$\int dq|q\rangle\langle q|$y$\int dp|p\rangle\langle p|$se insertan, y las igualdades$\langle q|q'\rangle=\delta(q-q')$,$\langle q|p\rangle=e^{ipq}$y$\int dp e^{ip(q-q')}=2\pi \delta (q-q')$son usados.

En una derivación paralela en el campo de Klein-Gordon, primero debo suponer que existen estados propios tanto del operador de campo$\hat \phi(\boldsymbol r)$y el operador de cantidad de movimiento$\hat \pi(\boldsymbol r)$:
$\hat \phi(\boldsymbol r)|\phi\rangle = \phi(\boldsymbol r)|\phi\rangle$
$\hat \pi(\boldsymbol r)|\phi\rangle = \pi(\boldsymbol r)|\phi\rangle$
e inserte los operadores de identidad$\int D\phi|\phi\rangle\langle \phi|$y$\int D\pi|\pi\rangle\langle \pi|$en$\langle \phi_b|e^{-iHT}|\phi_a\rangle$, y usa las igualdades$\langle \phi|\phi'\rangle=\delta(\phi-\phi')$,$\langle \phi|\pi\rangle=e^{i\int d^3\boldsymbol r\pi(\boldsymbol r)\phi(\boldsymbol r)}$y$\int D\pi e^{i\int d^3\boldsymbol r \pi(\boldsymbol r)(\phi(\boldsymbol r)-\phi'(\boldsymbol r))}=2\pi \delta (\phi-\phi')$. No parece haber ningún problema aquí.

Ahora considere el mismo procedimiento para un campo de bosones de Schrödinger (QFT en sí mismo no requiere relatividad). Necesito los estados propios$|\psi\rangle$del primer operador$\hat \psi(\boldsymbol r)$:
$\hat \psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle = \psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle$
y también la relación de ortogonalidad$\langle\psi|\psi'\rangle=\delta(\psi-\psi')$. Entonces, al insertar el operador de identidad, obtengo una representación de$\hat \psi (\boldsymbol r)$:
$\hat \psi (\boldsymbol r)=\int D\psi^*D\psi\hat\psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|=\int D\psi^*D\psi\psi(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|$
Hacer la conjugación hermítica,
$\hat \psi^\dagger (\boldsymbol r)=\int D\psi^*D\psi\psi^*(\boldsymbol r)|\psi\rangle\langle\psi|$
Aquí viene el problema: con estas dos igualdades, siempre obtendré
$[\psi(\boldsymbol r), \psi^\dagger(\boldsymbol r')]=\int D\psi^*D\psi(\psi(\boldsymbol r)\psi^*(\boldsymbol r')-\psi^*(\boldsymbol r')\psi(\boldsymbol r))|\psi\rangle\langle\psi|=0$
en contradicción con la condición de cuantificación$[\psi(\boldsymbol r), \psi^\dagger(\boldsymbol r')]=i\delta(\boldsymbol r-\boldsymbol r')$

¿Qué está mal con eso? Si se deben relajar algunas de las condiciones anteriores, entonces, ¿cómo derivar la fórmula integral de trayectoria correspondiente para un campo cuántico?