¿Por qué las curvas parametrizadas de longitud de arco tienen un vector unitario tangente?

Sí, siempre que su curva tenga un vector tangente distinto de cero en todos los puntos.

Supongamos que su curva es$\alpha: [a, b] \to \Bbb R^2$. Para$t \in [a, b]$, definir

$$q(t) = \int_a^t \| a'(s) \| ds.$$ Puedes ver eso $q(t)$representa "cuánto tiempo es $\alpha$de $a$hasta $t$".

¿Qué puedes decir sobre la función?$q$?

1. $q(a) = 0$.

2. $q'(t) = \| \alpha'(t) \| > 0$para cada$t \in (a, b)$, por el teorema fundamental del cálculo.

Definir$L = q(b)$ser la longitud de toda la curva.

Ahora:$q: [a, b] \to [0, L]$es una función continua creciente sobre su codominio; por lo tanto tiene una función inversa$u: [0, L] \to [a, b]$. Es posible que no podamos escribir fácilmente el inverso, pero está ahí. y la derivada de$u$en un punto está (por el teorema de la función inversa) dado por:

$$u'(t) = \frac{1}{q'(q^{-1}(t))} = \frac{1}{q'(u(t))} = \frac{1}{\|a'(u(t))\|}.$$

Sostenga ese pensamiento.

Ahora deja

$$\beta: [0, L] \to \Bbb R^2 : t \mapsto \alpha(u(t)).$$ Claramente $\beta$recorre el mismo camino que $\alpha$. pero que es $\beta'(t)$? Es, por la regla de la cadena, $$\begin{align} \beta'(t) &= \alpha'(u(t)) \cdot u'(t)\\ &= \alpha'(u(t)) \cdot \frac{1}{\| \alpha'(u(t))\|}, \end{align}$$ que es un vector unitario. QED.

podemos descomponer el vector de posición$\vec{r}(s)$, parametrizado por longitud de arco (s) en sus componentes en coordenadas cartesianas:

$\vec{r}(s) = x(s)\hat{\text{i}} + y(s)\hat{\text{j}} + z(s)\hat{\text{k}}$

ahora diferencie ambos lados con respecto a la longitud del arco s.

$\frac{d\vec{r}(s)}{ds} = \frac{dx(s)}{ds}\hat{\text{i}} + \frac{dy(s)}{ds}\hat{\text{j}} + \frac{dz(s)}{ds}\hat{\text{k}}$

Ahora encuentra la magnitud:

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \bigg(\frac{dx(s)}{ds}\bigg)^2 + \bigg(\frac{dy(s)}{ds}\bigg)^2 + \bigg(\frac{dz(s)}{ds}\bigg)^2$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \frac{1}{ds^2}\bigg[dx^2 + dy^2 + dz^2\bigg]$

dado que s es la longitud del arco, podemos sustituir la fórmula para diferencial de longitud de arco en la ecuación ($ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2$), de este modo:

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = \frac{1}{dx^2 + dy^2 + dz^2}\bigg[dx^2 + dy^2 + dz^2\bigg]$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix}^2 = 1$

$\begin{Vmatrix}\frac{d\vec{r}(s)}{ds}\end{Vmatrix} = 1$

de esto concluimos que si la función se parametriza usando la longitud de arco de la curva, entonces la derivada es un vector unitario. Además, todas las derivadas son vectores tangentes, por lo tanto, es un vector unitario tangente.

Pista: si$r:[a,b]\longrightarrow\Bbb R^n$y

$$s(t) = \int_a^t\|r'\|$$ entonces $r\circ s^{-1}$está parametrizado por arclengh. Ahora, aplica la regla de la cadena.