Comprender la fórmula de la curvatura

Es libre de derivar una fórmula para la curvatura en cualquier sistema de coordenadas que desee y con respecto a cualquier parámetro a lo largo de la curva que desee. Por ejemplo, probablemente también hayas visto una fórmula, expresada en términos de$x$-parametrización de coordenadas$(x,f(x))$, para la curvatura de la gráfica de una función$y=f(x)$:

Quizás en cambio una mejor pregunta podría ser

¿Por qué la parametrización de longitud de arco es la principal utilizada para expresar la fórmula de curvatura?

Creo que la respuesta a esto es simplemente que la parametrización de la longitud del arco es tan natural desde un punto de vista geométrico: se puede derivar usando nada más que geometría euclidiana y un argumento limitante, como se aprende en un curso de análisis real. Entonces, podría ser lo primero que un geómetra querría saber sobre la curvatura: ¿Cómo se escribe una fórmula para la curvatura expresada en términos del parámetro de longitud de arco?

Pero permítanme sugerir dos preguntas aún mejores:

¿Existe una definición de curvatura independiente de la parametrización? ¿Y se puede usar esa definición para derivar una fórmula en términos de la parametrización de la longitud del arco (o en términos de cualquier otra parametrización)?

De hecho, hay una buena definición que es independiente del parámetro y tiene tres pasos:

1. El circulo unitario$S^1 = \{(x,y) \mid x^2+y^2=1\}$tiene curvatura$1$en cada punto:
2. La curvatura varía inversamente bajo la similitud: Supongamos$C$y$C'$son dos curvas tales que$C$es parecido a$C'$. Dejar$f : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$sea ​​un mapa de semejanza tal que$f(C)=C'$. Dejar$r>0$ser el factor de similitud, lo que significa que$d(f(p),f(q)) = r d(p,q)$para todos$p,q \in \mathbb R^2$. Entonces para todos$x \in C$con el punto correspondiente$x' = f(x) \in C'$, la curvatura de$C'$en$x'$es igual a$\frac{1}{r}$veces la curvatura de$C$en$x$. (Por ejemplo, al combinar 1 y 2 se puede probar fácilmente que todo radio$1$los círculos tienen curvatura$1$en cada punto, y todo el radio$r$los círculos tienen curación$1/r$en cada punto.
3. La curvatura es un invariante de segundo orden: Para cualquier curva$C$y$p \in C$, y para cualquier círculo$C' \subset \mathbb R$que coincide$C$de segundo orden en el punto$p$, las curvaturas de$C$y$C'$en$p$son iguales (esta es la condición del "círculo osculador" a la que se hace referencia en el comentario de @Kajelad).

Sabiendo esto, uno puede probar la fórmula de parametrización de la longitud del arco para la curvatura y cualquier otra fórmula que desee, como la fórmula para el$x$-parametrización de coordenadas dada anteriormente.

Querríamos que cualquier definición de curvatura tuviera un sentido intuitivo cuando se aplicara a líneas rectas y círculos, por lo que la curvatura de una línea recta debería ser 0 y la curvatura de un círculo de radio$r$debiera ser$1/r$. Entonces, una forma de definir la curvatura sería encontrar el "círculo tangente" (si existe) en cada punto, entonces la curvatura sería el recíproco del radio de este "círculo tangente". Resulta que las ecuaciones necesarias para derivar el círculo tangente se simplifican si el vector tangente en cada punto de la curva tiene una longitud$1$, que es el caso solo si la curva está parametrizada por longitud de arco.

Abordemos y aclaremos algunos aspectos del post. Primero, está escrito:

"Siento que esta no es una explicación suficiente y se necesita más explicación para aclarar la fórmula".

Con suerte, el significado geométrico de la fórmula$\kappa = \left\Vert \frac{dT}{ds} \right\Vert$es claro:$\kappa$es la tasa infinitesimal de cambio del vector tangente por unidad de longitud de arco. Creo que eso capta bastante bien la noción intuitiva de "curvatura" como "cambio de dirección".

Pero la pregunta del OP parece estar más en la línea de: "¿Por qué es$\kappa = \left\Vert \frac{dT}{ds} \right\Vert$tan fundamental, cuando podríamos haberlo definido de otra manera?" El OP escribe:

"Esto realmente no ayuda porque descarta otras cantidades de las que podríamos haber derivado".

La respuesta a esto es que esencialmente no hay otras cantidades con respecto a las cuales podríamos haber diferenciado. En otras palabras, las curvas siempre se pueden reparar en términos de longitud de arco.$s$, y por lo tanto cualquier función (o variable) definida en la curva puede expresarse en términos de longitud de arco.

(Aparte, y como otros han mencionado, existen otras definiciones (equivalentes) de la curvatura$\kappa$por ahí, como la definición a través de círculos osculadores.)

Más allá de esto, el OP tiene otra preocupación, escribiendo:

"Todavía me queda un problema, definimos el vector unitario tangente usando parametrizaciones, por lo que el vector tangente en sí mismo depende de una propiedad fuera de la curva... Entonces, técnicamente hablando, la curvatura no está completamente hecha de propiedades intrínsecas a la curva. "

Aquí, vale la pena mencionar que una cantidad geométrica que es "intrínseca" o "extrínseca" es una cuestión completamente diferente de si esa cantidad depende de la parametrización. En otras palabras, hay dos cosas diferentes que podrían significar "fuera de la curva". Uno podría significar:

• (a) El vector tangente unitario$T$depende de la parametrización del dominio de la curva --- lo cual no es cierto (si se ignora la orientación) --- o
• (b) El vector tangente unitario$T$es una cantidad geométrica extrínseca (en lugar de una intrínseca ), en la que su definición depende de tener una parametrización. (Esto es cierto. De hecho, todas las propiedades geométricas de las curvas son extrínsecas. Las superficies, por otro lado, tienen propiedades geométricas tanto intrínsecas como extrínsecas).

Encontré la explicación más comprensible en la página 98 del libro Geometría diferencial visual de Tristan Needham:

Si una cuenta de masa unitaria se lanza a la unidad de velocidad a lo largo de un alambre en forma de una curva plana, la curvatura κ de esa curva es la fuerza F, dirigida perpendicularmente a la curva, ejercida por el alambre sobre la cuenta.

¡Y guau! ¡Todo tiene sentido ahora! Como ejemplo práctico, vuelva a mirar la fórmula de la ecuación centrípeta para el círculo

cuando vamos de$\vec{T}(t)$a$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, en lugar de encontrar qué tan rápido el "vector de dirección"$($o$\vec{T}(t))$cambiará en comparación con lo que fue anteriormente, que es lo que queremos, encuentra qué tan rápido cambiará el vector de dirección en comparación con el aumento constante$t$valor, que no es lo que queremos para un cambio de dirección local. Por ejemplo, en una pendiente rápidamente decreciente en una función$(t,f(t))$, cuando hacemos el cambio de$\vec{T}(t)$a$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, la pendiente pasa más rápido porque la$t$es básicamente$x$. Sin embargo, dado que tomamos$\frac{d\vec{T}(t)}{dt}$, encontramos "qué tan rápido cambiará la dirección a medida que pasa el tiempo" en lugar de "qué tan rápido cambiará la dirección a medida que extendemos el arco". En nuestra función que decrece rápidamente, el tiempo abarca demasiado del arco. Cuando nosotros tenemos$||\frac{d\vec{T}(t)}{dS}||$, tienes que recordar el$dS$parte en sí es la cantidad de longitud de arco mayor que$dt$.