Comprender una sucesión exacta larga relacionada con la cohomología.

El mapa$H^k(I\times X)\rightarrow H^k(\partial I\times X)$es inducido por la inclusión$i:\partial I\times X\hookrightarrow I\times X$. Puedes construir un mapa$s$en la dirección opuesta al compuesto

$$s:I\times X\xrightarrow{pr}I\times X\xrightarrow{in_0}\partial I\times X.$$

Compruebe que el compuesto$i\circ s:X\times I\rightarrow X\times I$es homotópica a la identidad. De ello se deduce que en la cohomología tienes$(i\circ s)^*=(id_{I\times X})^*=id$.

Ahora vemos que el mapa$i^*$, que es el primer mapa en su secuencia exacta, tiene un inverso izquierdo$s^*$, desde

$$s^*i^*=(i\circ s)^*=id$$

donde hemos utilizado la funcionalidad.

Resulta que$i^*:H^k(I\times X)\rightarrow H^k(\partial I\times X)$es inyectable para todos$k\geq 0$, y así por la exactitud de la secuencia que el mapa que le precede,$H^{k-1}(I\times X,\partial I\times X)\rightarrow H^k(I\times X)$, es cero. Obtienes esto de las definiciones usando$ker(i^*)=0$

Dejar$j : \partial I \times X \to I \times X$denota inclusión. Mostramos que$j^* : H^k( I \times X) \to H^k(\partial I \times X)$tiene núcleo trivial. Por exactitud esto significa que$H^{k}(I\times X,\partial I\times X)\xrightarrow{}H^{k}(I\times X)$tiene imagen trivial, es decir, es el mapa cero.

Dejar$p : I \times X \to X$denota proyección; es una equivalencia de homotopía. Además deja$i_0 : X \to \partial I \times X, i_0(x) = (x,0)$, y$r : \partial I \times X \to X$sea ​​la proyección. Tenemos$r i_0 = id$, de este modo$i_0^* r^* =id$. Por lo tanto$r^*$es un monomorfismo. También tenemos$p j = r$, de este modo$j^* p^* = r^*$. Desde$p^*$es un isomorfismo, vemos que$j^*$es un monomorfismo, por lo tanto tiene núcleo trivial.