¿Cómo entender la naturalidad en la secuencia exacta larga de homología?

Dejar$\mathcal {Chain}$la categoría de cadenas complejas de grupos abelianos.$\mathcal{Chain}$es una categoría abeliana.

Dejar$\mathcal{ShExact}$ser la categoría de secuencias exactas cortas de objetos en$\mathcal{Chain}.$

Hay funtores olvidadizos$A,B,C:\mathcal{ShExact}\to \mathcal{Chain},$enviando$0\to a_*\to b_*\to c_*\to 0$a$a_*, b_*,c_*,$respectivamente.

Hay funtores de homología.$H_i:\mathcal {Chain}\to \mathcal{Ab}.$

Entonces esta es una función natural.$\partial:H_{i}\circ C\to H_{i-1}\circ A$para cada$i.$

Por supuesto, el resto de la sucesión exacta larga también es natural.$H_i\circ A\to H_i\circ B$y$H_i\circ B\to H_i\circ C.$Esos son más obviamente existentes y naturales.

Podemos evitar los índices pensando en la homología como un solo funtor$H$ir desde$\mathcal {Chain}$a$\mathcal C=\mathcal {Ab}^{\mathbb N}.$Entonces necesitas agregar un funtor de cambio en$\mathcal C,$con$S(A_0,A_1,\dots)=(0,A_0,A_1,\dots).$

Entonces tienes funciones naturales:

De nuevo, solo$\partial$es sorprendente

La naturalidad dice que si tienes un mapa corto secuencias exactas de complejos$S\to S'$es decir, un diagrama de la forma$\require{AMScd}$

el siguiente diagrama conmuta para cada$n\in\mathbb Z$:

Puedes pensar en esto como una "escalera" infinita cuyos cuadrados se conmutan. Creo que las otras respuestas tienen cosas más o menos establecidas en términos puramente categóricos: se puede pensar en el LES como un funtor que toma una secuencia exacta corta de complejos (en alguna categoría abeliana) y la envía a una secuencia exacta larga de objetos (en la misma categoría abeliana), con mapas$(Hi,Hp,\delta)$. Un morfismo de sucesiones exactas cortas$(f,g,h)$luego se envía a un morfismo de secuencias exactas largas$(Hf,Hg,Hh)$.

Una posible interpretación es que se trata de una transformación natural entre funtores con dominio en la categoría de secuencias exactas cortas de complejos.