Desigualdades de valor absoluto (cuadráticas)

Actualmente estoy luchando con las soluciones de desigualdades de valor absoluto que involucran cuadráticas. Este es el problema de ejemplo:

X | X + 5 | ≥ − 6

Soy capaz de encontrar las soluciones, pero tengo problemas con la notación de intervalos. Consideré graficar las dos funciones cuadráticas y encontrar el área sombreada como las soluciones, pero todavía no entiendo cómo es la solución. [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ] . Entiendo [ − 6 , − 3 ] pero no el ∞ parte. Sí, puedo hacer esto ingresando valores y verificando si las soluciones funcionan, pero eso no es eficiente. ¿Qué estoy haciendo mal? Agradezco la ayuda de cualquiera.

https://www.desmos.com/calculator/7j8yamvbzv

Este es mi gráfico que hice para encontrar las soluciones.

Bienvenido a MathSE. Escriba su pregunta en lugar de publicar una imagen, ya que las imágenes no se pueden buscar. Este tutorial de MathJax explica cómo escribir matemáticas en este sitio.
Si bien los gráficos brindan respuestas (posiblemente aproximadas debido a la naturaleza de encontrar puntos en una imagen), de una naturaleza más rigurosa sería dividir el problema en casos. Tu desigualdad pregunta cuándo el producto X | X + 5 | es mayor o igual a − 6 . Uno podría pensar en X | X + 5 | como una función continua, por lo que los puntos donde X | X + 5 | = − 6 juegan exactamente un papel como límites de regiones (intervalos) donde se satisface la desigualdad.

Respuestas (2)

Debe considerar dos casos separados: Caso (a): X + 5 ≥ 0 . En este caso la desigualdad se convierte en X 2 + 5 X + 6 ≥ 0 . Las soluciones de esta desigualdad cuadrática son ( − ∞ , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) . Teniendo en cuenta que X ≥ − 5 da [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Caso (b): Aquí X + 5 ≤ 0 , lo que nos da − X 2 − 5 X + 6 ≥ 0 . Esta desigualdad tiene soluciones. [ − 6 , 1 ] . Juntos con X ≤ − 5 esto da [ − 6 , − 5 ] .

La suma de las soluciones da [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) .

| X + 5 | = { X + 5 si  X ≥ − 5 − X − 5 si  X < − 5

Caso 1: X ≥ 5

X | X + 5 | ≥ − 6 X ( X + 5 ) ≥ − 6 X 2 + 5 X ≥ − 6 X 2 + 5 X + 6 ≥ 0 ( X + 2 ) ( X + 3 ) ≥ 0
La expresión del lado izquierdo es igual a cero cuando X = − 2 o X = − 3 . Es positivo cuando los factores son ambos positivos o ambos negativos. Ambos factores son positivos cuando X > − 2 . Ambos factores son negativos cuando X < − 3 . Por lo tanto, si X ≥ − 5 , la desigualdad se satisface cuando X ≤ − 3 o X ≥ − 2 .

Ya que requerimos que X ≥ 5 y X ≤ − 3 o X ≥ 5 y X ≥ − 2 , − 5 ≤ X ≤ − 3 o X ≥ − 2 . En notación de intervalo, escribimos

{ X ∈ R ∣ − 5 ≤ X ≤ − 3 } = [ − 5 , − 3 ] { X ∈ R ∣ X ≥ − 2 } = [ − 2 , ∞ )
Por lo tanto, si X ≥ − 5 y satisface la desigualdad X | X + 5 | ≥ − 6 , entonces
X ∈ [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Caso 2: X < − 5

X | X + 5 | ≥ − 6 X ( − X − 5 ) ≥ − 6 − X 2 − 5 X ≥ − 6 X 2 + 5 X ≤ 6 X 2 + 5 X − 6 ≤ 0 ( X + 6 ) ( X − 1 ) ≤ 0
La expresión del lado izquierdo es igual a cero cuando X = − 6 o X = 1 . Es negativo cuando los dos factores tienen signos opuestos, lo que ocurre cuando − 6 < X < 1 . Por lo tanto, la desigualdad se satisface si X < − 5 y − 6 ≤ X ≤ 1 , entonces − 6 ≤ X < − 5 . En notación de intervalo, escribimos
{ X ∈ R ∣ − 6 ≤ X < − 5 } = [ − 6 , − 5 )
Por lo tanto, si X < − 5 y satisface la desigualdad X | X + 5 | ≥ − 6 , entonces
X ∈ [ − 6 , 5 )

Solución: La solución de la desigualdad del valor absoluto X | X + 5 | ≤ − 6 es la unión de las soluciones para los casos X ≥ 5 y X < 5 , por lo que obtenemos el conjunto solución

S = [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) ∪ [ − 6 , − 5 ) = [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Desigualdades de valor absoluto (cuadráticas)
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v