Funcional de Wigner para campos fermiónicos (QFT en espacio de fase)

Actualmente estoy estudiando la formulación funcional de Wigner de la teoría cuántica de campos, que se deriva de la imagen de Schrödinger: los operadores que actúan sobre los estados del espacio de Fock son funciones de los campos independientes del tiempo.$\phi(\textbf{x})$. En la representación de puestos, cada estado$|\Psi\rangle$está representado por un funcional de los campos$\Psi[\phi] = \langle\phi|\Psi\rangle$, dónde$|\phi\rangle$son los estados propios de los operadores de campo. Estos se realizan como los núcleos$\hat{\phi}(\textbf{x})\rightarrow\delta[\overline{\phi}-\phi]\phi(\textbf{x})$, y sus momentos conjugados como$\hat{\pi}(\textbf{x})\rightarrow \delta[\overline{\phi}-\phi]\frac{\delta}{\delta\phi(\textbf{x})}$. Con eso en mente, los estados se calculan a partir de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle = H|\Psi(t)\rangle$$

Para la formulación del espacio fase de esta teoría, todos los operadores se escriben como funcionales de los campos y sus momentos conjugados$\mathcal{O}[\phi,\pi]$, y el estado está representado por el funcional de Wigner$W[\phi,\pi]$, que obedece a la ecuación de Moyal:

$$\{\{W,H\}\} = W[\phi,\pi]\star H[\phi,\pi] - H[\phi,\pi]\star W[\phi,\pi] = 0$$

Donde el producto estrella de Moyal se define como:

$$A[\phi,\pi]\star B[\phi,\pi] = A[\phi,\pi] \exp\left(\frac{i\hbar}{2}\int d^{3}\textbf{x}\ \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})} - \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})} \right) B[\phi,\pi]$$

El funcional de Wigner se puede obtener del de Shrödinger mediante la transformada de Wigner:

$$W[\phi,\pi] = \int \mathcal{D}\eta \ \Psi^{*}\left[\phi-\frac{\hbar}{2}\eta\right]e^{-i\int d^3\textbf{x}\ \eta(\textbf{x})\pi(\textbf{x})}\Psi\left[\phi+\frac{\hbar}{2}\eta\right]$$

Ahora, todo funciona bien para los campos escalares y electromagnéticos. Sin embargo, me he encontrado con varias dificultades cuando trato de aplicar esta formulación al campo fermiónico. En primer lugar, los operadores de campos fermiónicos y sus momentos anticonmutación, lo que significa que sus valores propios también tienen que:$\{ \psi(\textbf{x}),\psi(\textbf{y}) \} = 0$. Esto se puede resolver, sin embargo, expresando las funciones de campo$\psi(\textbf{x})$a las variables de Grassmann y realizando todos los cálculos teniendo eso en cuenta. Mi principal problema es que el momento conjugado del campo fermiónico es su adjunto,$\pi_{\psi}(\textbf{x}) = i\psi^{\dagger}(\textbf{x})$. Por lo tanto, el valor del campo$\psi$determina de forma única la del momento$i\psi^{\dagger}$. Por lo tanto, ¿no sería funcional un Wigner$W[\psi,\psi^{\dagger}]$ser sólo efectivamente dependiente del campo$\psi$? ¿Cómo puedes construir un espacio de fase si el momento conjugado está relacionado con el campo? Recuérdese que esto no sucede para el escalar o el campo electromagnético ya que, aunque el momento conjugado se define como$\pi = \partial_0\phi$en la imagen de Heisenberg, la independencia temporal de los operadores en la imagen de Schrödinger elimina esta relación.