Ejemplos de transformadas de Weyl de operadores no triviales

La transformada de Wigner-Weyl de una función$f(x,p)$es dado por,

$$\Phi[f]= \frac{1}{4\pi^2}\iiiint f(x,p) \exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Como sugirió, tomemos el hamiltoniano del oscilador armónico, es decir

$$\Phi[H]=\frac{1}{8m\pi^2}\iiiint p^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db \\ + \frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiiint x^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Nos ocupamos de la última integral, ya que son más o menos análogas. Como la primera integración ha terminado$x$, podemos aplicar la integración por partes e ignorar$p$:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiint \frac{1}{a^3}e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ia^2 + 2ax-2i) \, dp \,da \, db$$

Integrando con respecto a$p$es trivial:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iint \frac{b}{a^3} e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ax^2 +2-i2ax) \, da \, db$$

Con la ayuda de Mathematica 9, podemos expresar la integral subsiguiente sobre$a$en términos de un polianomio, y la función integral exponencial:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\int \, b e^{ib(P-p)} \, \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) \\ -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right] \, db$$

La integral sobre$b$también es trivial, ya que el integrando solo presenta$b$en la forma$be^{b\dots}$Por eso,

$$-\frac{m\omega^2}{8\pi^2(P-p)^2} \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right]e^{ia(X-x)+ib(P-p)}\left( ib(P-p)-1\right)$$

Aplique el mismo procedimiento a la primera integral original, combine las dos, etc.

El nombre estándar para lo que está buscando es la transformada de Wigner, la inversa de la transformada de Weyl. (Como la transformada de Weyl asigna funciones de espacio de fase a operadores). para un operador arbitrario en cualquier orden, la transformada de Wigner sigue una fórmula simple de 1964 de Kubo, ecuación (111) de la Ref. 1, efectivamente la transformada de Fourier de los elementos de matriz fuera de la diagonal de dicho operador entre estados propios de posición.

La transformada de Wigner del potencial de Coulomb es bien conocida por ser una expresión integral inflexible (existen mejores formas de resolver el átomo de hidrógeno en el espacio de fase). Para el oscilador hamiltoniano, es la expresión estándar, en unidades normalizadas no dimensionales, el cuadrado del radio en el espacio fase,$(p^2+x^2)/2$. Para la expresión de operador típica exp(ax̂) exp(bp̂), la transformada de Wigner es, según esa fórmula, exp($ax+bp+i\hbar ab/2$).

Una transformada de Wigner más celebrada es la del operador de evolución del oscilador,$\exp(\frac{it}{2\hbar} (\hat{x}^2 + \hat{p}^2) )$, a saber, la ecuación (60) de la Ref. 1,

$$\frac{1}{\cos (t/2)} e^{\frac{i\tan(t/2)}{\hbar} (x^2+p^2)} ~.$$

Referencias:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie y Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. El archivo PDF está disponible aquí .