¿Cómo obtendría una ecuación de Boltzmann en la teoría cuántica de campos?

Question

¿Cómo obtendría una ecuación de Boltzmann en la teoría cuántica de campos?

Física
espacio de fase
Transformada de Wigner
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos

kryomaxim

Las distribuciones estadísticas del espacio de fase están relacionadas con las funciones de Wigner definidas por:

$f(x,k,t) = \int \frac{d^3x'}{(2 \pi)^3}e^{ikx'}\psi^*(x+x'/2,t)\psi(x-x'/2,t)$ .

Esta definición es válida solo para la mecánica cuántica no relativista. En la teoría relativista del campo cuántico no puedo usar esta definición, ya que no es invariante de Lorentz. Ahora he visto la función de distribución del espacio de fase (los sombreros denotan operadores)

$f(\phi,\Pi,t)=\int \frac{d^3\phi'}{(2 \pi)^3}e^{i\Pi \phi'}<\phi+\phi'/2,t|\phi-\phi'/2,t>=<0|\delta(\phi-\hat{\phi})\delta(\Pi-\hat{\Pi})|0>$

Puedo usar el operador de evolución temporal $U(t,t+T) = e^{-i \int_t^{t+T}dt'H(t')}$ computar $f(\phi,\Pi,t)$ en otro momento. Después de computar $(f(\phi,\Pi,t+T)-f(\phi,\Pi,t))/T = \partial_tf(\phi,\Pi,t)$ Puedo obtener una ecuación de transporte similar a la de Boltzmann; ocurrirán integrales sobre la medida de Haar generada por $\phi,\Pi$ .

Pregunta: Es conveniente establecer $\phi = \frac{e^{i kx}}{\sqrt{2k_0 V}}, \Pi = \frac{\partial \phi}{\partial t}$ para un estado de partícula en momento $k$ y energía $k_0$ . ¿Es posible transformar las integrales del espacio de fases en $\phi,\Pi$ a integrales de espacio de fase ordinarias que se repiten $x,p$ (como se utiliza para la física estadística)? ¿Es posible hacer que la medida de Haar sobre campos cuánticos sea una medida de Lebesgue sobre $x,p$ ?

una mente curiosa

1. ¿Qué quiere decir con "medida Haar"? Una medida de Haar es una medida invariable en un grupo topológico, ¿cuál es ese grupo topológico aquí? 2. ¿Qué quiere decir con "espacio de fase ordinaria"? La diferencia entre la teoría de campos y las teorías de partículas puntuales es precisamente que el espacio de fase de dimensión finita abarcado por

x, p

$x,p$ debe ser reemplazado por un espacio de dimensión infinita atravesado por configuraciones de campo

ϕ, π

$\phi,\pi$ . No hay un "espacio de fase ordinario" en una teoría de campo, ¿cuáles son sus

x, p

$x,p$ ¿se supone que es?

kryomaxim

Con medida de Haar me refiero a la integral sobre todos los posibles

ϕ, Π

$\phi,\Pi$ . puedo transformar

d [ϕ] d [Π]

$d[\phi]d[\Pi]$ en términos de

d^{3} x d^{3} k

$d^3xd^3k$ ?

una mente curiosa

Esa no es una medida de Haar (¿dónde leíste que es?), esa medida está incluso en general matemáticamente mal definida (no es que eso impida que cualquier físico la use). repito, en la puesta de campos

ϕ (x)

$\phi(x)$ y

π (x)

$\pi(x)$ , cual es tu

k

$k$ (o

p

$p$ ) o lo que sea que se suponga que sea?

kryomaxim

p

$p$ es el momento (denoté también el momento cuántico por

k

$k$ ) y

x

$x$ es la coordenada espacial

Respuestas (2)

¿Cómo obtendría una ecuación de Boltzmann en la teoría cuántica de campos?

1. ¿Qué quiere decir con "medida Haar"? Una medida de Haar es una medida invariable en un grupo topológico, ¿cuál es ese grupo topológico aquí? 2. ¿Qué quiere decir con "espacio de fase ordinaria"? La diferencia entre la teoría de campos y las teorías de partículas puntuales es precisamente que el espacio de fase de dimensión finita abarcado por $x,p$ debe ser reemplazado por un espacio de dimensión infinita atravesado por configuraciones de campo $\phi,\pi$ . No hay un "espacio de fase ordinario" en una teoría de campo, ¿cuáles son sus $x,p$ ¿se supone que es?
Con medida de Haar me refiero a la integral sobre todos los posibles $\phi,\Pi$ . puedo transformar $d[\phi]d[\Pi]$ en términos de $d^3xd^3k$ ?
Esa no es una medida de Haar (¿dónde leíste que es?), esa medida está incluso en general matemáticamente mal definida (no es que eso impida que cualquier físico la use). repito, en la puesta de campos $\phi(x)$ y $\pi(x)$ , cual es tu $k$ (o $p$ ) o lo que sea que se suponga que sea?
$p$ es el momento (denoté también el momento cuántico por $k$ ) y $x$ es la coordenada espacial

Tomás · Answer 1

Hay dos posibles objetos que puedes estudiar, la función de Wigner (que se reduce a la función de distribución ordinaria) y la funcional de Wigner (que es una funcional en el espacio de campos y sus momentos conjugados).

Para llegar a la cinética ordinaria y la ecuación de Boltzmann estudiamos

W (X, pag) = \int d^{4} y Exp (- i pag \cdot y) ⟨ \bar{ψ} (X + y / 2) ψ (X - y / 2) ⟩

$W(x,p) = \int d^4y\, \exp(-ip\cdot y) \langle \bar\psi(x+y/2)\psi(x-y/2)\rangle$ y derivar una ecuación de movimiento para

W

$W$ . Para fermiones de Dirac

W

$W$ es una matriz en el espacio de espín. En la teoría de calibre tenemos que poner enlaces de calibre. En las teorías de campos escalares, la matriz de densidad tiene la forma

ϕ^{†} \partial_{μ} ϕ

$\phi^\dagger\partial_\mu\phi$ .

Para llegar a la teoría cinética ordinaria tenemos que demostrar que en el límite semiclásico

W (X, pag) = A d ({pag}^{2} - {metro}^{2}) [Θ ({pag}_{0}) F_{+} (X, pag) + Θ (- {pag}_{0}) (F_{-} (X, pag) - 1)]

$W(x,p) = A \delta(p^2-m^2) [\Theta(p_0)f_+(x,p) + \Theta(-p_0)(f_-(x,p)-1)]$ dónde

A

$A$ es una matriz de espín (

(γ \cdot p + m)

$(\gamma\cdot p+m)$ en la teoría de Dirac), y

f_{\pm}

$f_\pm$ satisfacer la ecuación de Boltzmann. Esto se describe en libros de texto estándar, por ejemplo, de Groot, van Leeuven y van Weert, "Teoría cinética relativista". El resultado es manifiestamente covariante, pero los proyectores en la carcasa aseguran que

f_{\pm}

$f_\pm$ es sólo una función de

\vec{p}

$\vec{p}$ .

El funcional de Wigner es (para una teoría de campo escalar, donde $\pi$ es conjugado a $\phi$ )

W [ϕ, π] = \int d ψ Exp (- i \int ψ π) ⟨ ρ [ϕ - ψ / 2, ϕ + ψ / 2] ⟩

$W[\phi,\pi] = \int d\psi \exp\left(-i\int \psi\pi\right) \langle \rho[\phi-\psi/2,\phi+\psi/2]\rangle$ dónde

ρ

$\rho$ es una matriz de densidad en el espacio de campo (ver libros de texto como Calzetta y Hu para definiciones de

ρ

$\rho$ ). El límite semiclásico de este objeto se puede utilizar para estudiar la termalización de los campos clásicos (que es un tema espinoso).

Cosmas Zachos · Answer 2

Sí, lo que está sugiriendo se ha hecho, en las características de la trayectoria de Wigner en el espacio de fase y la teoría del campo , por T Curtright y yo, JPhysA: Math Gen 32 (5).

QFT no necesita ser manifiestamente covariante, ya que es una matriz infinita de osciladores después de todo, por lo que aquí se sacrifica la covarianza manifiesta. No creo que hayas visto la segunda expresión tal como la escribiste, ya que precisamente no tiene la medida funcional [dφ'(x)] en lugar de una integral simple en una variable (recuerda, hay un infinito de φ (x)s, ¡una infinidad de osciladores!), y el producto simple en el exponente debe ser una integral en dx, para reflejar ese infinito... el exponente es un producto escalar de dimensión infinita. Cf. (35) , un funcional

W [ϕ, π] = \int [\frac{d η}{2 π}] Ψ^{*} [ϕ - \frac{ℏ}{2} η] {mi}^{- i \int d X η (X) π (X)} Ψ [ϕ + \frac{ℏ}{2} η] .

$W [\phi,\pi] =\int\!\left[ \frac{d\eta}{2\pi}\right] ~\Psi^{\ast}\left[ \phi-{\frac{\hbar}{2}\eta}\right] \, e^{-i\int dx\,\eta\left( x\right) \pi\left( x\right) }~ \Psi\left[ \phi+{\frac{\hbar }{2}\eta}\right] .$

Pero el espíritu de su expresión es esencialmente sólido, y la ecuación de evolución del tiempo es de hecho la ecuación de Moyal del espacio de fase de dimensión infinita , (49), y usted está en su camino. Transformarlo a Boltzmann a través de aproximaciones depende de la naturaleza del hamiltoniano.

Las teorías de campos escalares libres son sopa de pato, (48),

\partial_{t} W = - \int d X (π (X) \frac{d}{d ϕ (X)} - ϕ (X) ({metro}^{2} - \nabla_{X}^{2}) \frac{d}{d π (X)}) W,

$\partial_{t}W = -\int dx\,\left( \pi\left( x\right) \frac{\delta}{\delta \phi\left( x\right) }-\phi\left( x\right) \left( m^{2}-\nabla_{x}% ^{2}\right) \frac{\delta}{\delta\pi\left( x\right) }\right) W~ ,$ así que más o menos una especie de rotación rígida funcional; pero las interacciones son un dolor... la razón por la que ya no enseñan mucho la teoría del campo funcional de ondas en la mayoría de los lugares... Una versión de conversación más intuitiva del problema podría ser más amigable para empezar.

Estoy hablando aquí desde la ignorancia completa. Los propagadores de Feynman son una forma de "deshacerse" de los operadores. ¿No es posible simplemente intentar construir una función de distribución a partir de este formalismo?
Sí, donde sea que tengas una infinidad de grados de libertad, terminas con funciones de distribución...

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Respuestas (2)

Tomás

Cosmas Zachos

usuario2820579

Cosmas Zachos

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