Comprender el concepto matemático detrás del espacio de fase y el retrato de fase

El espacio de fase es el espacio en el que se representan todos los estados posibles de un sistema , y ​​cada estado posible corresponde a un punto único en el espacio de fase.

En su caso, es evidente a partir de la estructura de las soluciones de su EDO que las soluciones x(t) son de dos parámetros ($x_0,v_0$) familias, por lo que pueden representarse en un plano 2d como líneas (trayectorias) ($x(t),\dot{x}(t)$) donde t parametriza la línea completamente caracterizada por el punto inicial ($x_0,v_0$). Entonces, estas trayectorias no se cruzan, corresponden a un IC único ($x_0,v_0$) y la ecuación diferencial se propaga ($x(t),\dot{x}(t)$) en ellos a una ubicación futura única en un momento posterior.

En un momento dado, un punto del sistema será un punto en este plano 2d, por lo que pertenecerá a esa trayectoria única. Algunas de estas trayectorias pueden ser periódicas, como para el oscilador lineal, F=-x ; o líneas abiertas, para F=0 ; o espiral a un punto fijo para el oscilador amortiguado,$F=-x-\gamma \dot x$(otra opción que de alguna manera eligió no considerar).

Todas las derivadas temporales superiores de x(t) más allá de la primera están completamente determinadas por la EDO y sus derivadas temporales y, por tanto, no añaden más información sobre el estado. Piensa en trazar ($x,\dot{x}, \ddot{x}$) en cambio: todavía obtiene líneas en su espacio 3d expandido, pero sin más información para caracterizar sus estados, su pasado o su futuro, para contrastarlos con otras familias/tipos de estados. Las trayectorias periódicas seguirán siendo periódicas, las abiertas abiertas, las que tienden a un punto fijo muy parecidas.

• La conclusión es que las dos constantes independientes de su conjunto de soluciones de la EDO de segundo orden motivan un espacio 2D de interfaz gráfica para trazarlas y caracterizar sus características más destacadas.