Vectores en Física vs. Vectores en Álgebra Lineal Abstracta

La primera definición está más cerca de la geometría elemental y es más intuitiva, pero la intuición parece estar limitada a espacios vectoriales "simples" como$\mathbb R^2$y$\mathbb R^3$. Sin embargo, no está tan lejos de (2) de lo que uno podría creer.

Pensemos primero en el concepto de dirección . ¿Qué es una dirección en el plano?$\mathbb R^2$? Esto parece muy claro, pero si quieres precisarlo verás que no es baladí.

Convengamos que, en un sentido ingenuo, un vector$v$en$\mathbb R^2$es una flecha que empieza en$(0,0)$y terminando en$(x,y)$. [En física, a veces, un vector también se considera como una flecha que conecta dos puntos cualquiera en el plano; esto lleva al concepto de un espacio afín que no discutiremos aquí.] Desde el punto de partida$(0,0)$es fijo, un vector está determinado únicamente por su punto final y simplemente podemos escribir$v = (x,y)$.

¿Cómo sabemos que los vectores$v_1= (1,0)$y$v_2 = (2,0)$tienen la misma dirección y$w_1= (0,-1)$y$w_2 = (1,3)$¿no? la respuesta es que$v_2$es un múltiplo positivo de$v_1$, pero$w_2$no es múltiplo de$w_1$. Por lo tanto, una definición formal de dirección que funciona en cualquier espacio vectorial es esta:

Una dirección es una clase de equivalencia de vectores distintos de cero, donde$v_1 \sim v_2$si$v_2 = t v_1$para algunos$t > 0$.

Tenga en cuenta que$u_1= (1,0)$y$u_2 = (-1,0)$no tienen la misma dirección porque$u_2$es un múltiplo negativo de$u_1$. De hecho, tienen la dirección opuesta. También podemos asignar a$0 \in V$una dirección (la "dirección cero"), pero es una cuestión filosófica si tiene sentido considerar esto como una dirección "real".

Pensemos a continuación en el concepto de magnitud . En$\mathbb R^2$(y también en$\mathbb R^3$) el significado es claro, pero requiere un componente estructural adicional más allá de la suma y la multiplicación escalar. Este componente es la norma euclidiana estándar dada por$\lVert (x,y) \rVert = \sqrt{x^2+y^2}$. Asocia a cada vector una magnitud (o longitud) y por lo tanto permite comparar la magnitud de vectores no colineales$v_1, v_2$. Tenga en cuenta que si$v_1,v_2$son colineales, es decir, se encuentran en una sola línea que pasa por el origen, el$v_1,v_2$tienen la misma magnitud si y solo si$v_2 = \pm v_1$.

Concluimos que hablar tanto de dirección como de magnitud sólo es posible en espacios vectoriales normados . Este es un escenario adecuado para la física, y no tiene nada de malo. En un espacio vectorial normado$(V,\lVert - \rVert)$hay un$1$-$1$-correspondencia entre vectores$v \ne 0$y parejas$(d,l)$dónde$d$es una dirección y$l > 0$. Precisamente en ese sentido (1) y (2) son equivalentes. El problema con (1) es que no es completamente transparente cómo la suma de vectores en la forma$(d_1,l_1)$y$(d_2,l_2)$está trabajando.

Un espacio vectorial (normado) está lleno de objetos que tienen "magnitud y dirección", es decir, tienen una longitud (métrica, derivada del producto interno) y sabemos en qué dirección están apuntando (hay un conjunto de objetos base que abarcar el espacio). Estas reglas constituyen la base de los axiomas del espacio vectorial y es así como podemos explorar objetos que permiten una noción razonable de "magnitud y dirección" como las funciones. Esta abstracción ha sido un componente crítico de gran parte de las matemáticas modernas.