¿Existen proposiciones indecidibles en la mecánica clásica?

Sí. Una forma simple (trivial) de verlo es considerar una computadora mecánica y preguntar si uno puede predecir su estado final dado el estado inicial sin ejecutarlo. Dado que este es exactamente el problema de detención de Turing, cualquier método que le permita hacer esa predicción en la mecánica newtoniana sería un contraejemplo del teorema (contradicción) o requeriría algún elemento no computable.

Esto no debería ser sorprendente. Los sistemas dinámicos caóticos carecen de soluciones analíticas ya menudo son indecidibles . Esto parece ser cierto (uno necesita definir decidir cuidadosamente aquí) para el problema de N-cuerpos (ver también esta disertación ).

¿Importa esto? Probablemente menos a los físicos y más a los filósofos e informáticos. La cuestión de cómo se incorpora la computación en el mundo físico es un gran tema, con preguntas interesantes sobre si la hipercomputación es posible de verdad (está permitida en la mecánica newtoniana; en principio, se puede resolver el problema de la detención usando una configuración newtoniana ) y si la física Las leyes son de pronóstico.

El teorema tiene consecuencias para cualquier sistema formal que incluya aritmética. Siempre habrá teoremas que serán indecidibles. Esos teoremas, sin embargo, siempre implican cantidades infinitas, un ejemplo es: ¿Este sistema de ecuaciones diofánticas tiene un número finito o infinito de soluciones?". El problema es en general indecidible, aunque para ejemplos particulares puede resultar decidible. Otros más interesantes se pueden encontrar ejemplos aquí , y también en la respuesta de @Anders Sanberg

Me gustaría compartir dos ejemplos que uno podría considerar una "versión física" del teorema de incompletitud de Gödel. Esto realmente no responderá a la pregunta de si los sistemas de axiomas en física pueden ser formalmente incompletos en el sentido de Gödel. Sin embargo, mostrará cómo la incompletitud de una teoría física suele estar conectada con alguna percepción física que no es capturada por el sistema de axiomas, y que una incompletitud matemática, por lo tanto, simplemente indicaría que nuestra teoría no describe toda la física. (Este argumento asume el determinismo, pero dado que la pregunta es sobre mecánica clásica, creo que es justo).

El primer ejemplo es la cuna de Newton , o una versión simplificada donde tres esferas idénticas perfectamente incompresibles se alinean perfectamente en el espacio y chocan a lo largo de una línea. Pictóricamente (o = esfera, o> = es esfera en movimiento, -= separación espacial):

--o>---o---o---

Desde una perspectiva axiomática, tenemos las leyes de Newton (principalmente la conservación del momento relevante aquí) y la suposición de esfera perfectamente incompresible (que da la conservación de la energía ).

Para dos bolas (--o>----o--), el problema se resuelve mediante la conservación de la cantidad de movimiento y la energía y se encuentra que la primera bola se detiene mientras que la segunda bola toma la cantidad de movimiento de la primera. No hay ningún problema aquí.

Para tres bolas (--o>----o----o---), el problema es simplemente una sucesión de colisiones de dos bolas.

El problema se vuelve interesante cuando dos de las bolas se tocan al principio (--o>---oo----). Al configurar la conservación de la cantidad de movimiento y la energía para este sistema, se encuentra que las ecuaciones tienen múltiples soluciones físicas , siendo la solución de dos colisiones sucesivas de dos bolas solo una de ellas. En cierto sentido, el problema es indecidible dentro de nuestro "sistema de axiomas".

¿Que está sucediendo aquí? La respuesta es muy simple: la suposición de la esfera perfectamente incompresible no tiene mucho sentido cuando dos bolas se tocan. En realidad, incluso si las bolas son perfectamente incompresibles en un sentido limitado, habrá ondas visibles que se desplazarán a través del material y provocarán que se realice físicamente una trayectoria única. Nuestros axiomas no capturan esta situación.

Otro conjunto de ejemplos famosos son varias paradojas en relatividad especial (por ejemplo, la paradoja de la víbora L ), que al final requieren que se abandone el concepto de un cuerpo rígido perfecto.

El ejemplo de la cuna de Newton es indecidible en un sentido físico. Sin embargo, en un sentido matemático, esto no tiene nada que ver con el teorema de incompletitud de Gödel. Las paradojas de la relatividad especial son un ejemplo de axiomas que físicamente no van juntos.

Si estás siendo estricto con el tipo de cosas de las que hablaba Gödel, no. Godel estaba operando en sistemas que podían probar todo enunciado verdadero en aritmética. En física, estas son generalmente afirmaciones que se suponen en lugar de probarse. La física se basa en las matemáticas, basándose en lo que las matemáticas afirman que es verdad.

Para empezar, necesitarías encontrar algo cuantizado en la mecánica clásica. La mayoría de los temas de mecánica clásica tratan con números reales y, por lo tanto, las declaraciones más significativas se prueban utilizando la lógica de segundo orden (SOL). Gödel demostró que los sistemas SOL no pueden admitir una prueba de su propia consistencia, pero más allá de eso, tiene poco que decir sobre tales sistemas.

También necesitaría encontrar un sistema autorreferencial cuantizado , y luego uno que admita algo parecido a una prueba de su propia consistencia.

De hecho, la verdadera auto referencia en sí misma es bastante rara en física, y un poco novedosa. Pero es posible que pueda encontrar algo en lo que hincar el diente en el mundo de tratar de modelar cómo piensa el cerebro. Pero cuanto más aprendemos sobre el cerebro, más aprendemos cuán poco depende de algo tan frágil como la lógica.