¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones diferenciales para esta partícula?

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¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones diferenciales para esta partícula?

Física
análisis
Matemáticas
física-matemática
cálculo de variaciones
ecuaciones diferenciales ordinarias

cristian rodriguez

Estoy tratando de resolver este problema

Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de la gravedad sobre la superficie interior de un paraboloide de revolución $x^2+y^2=az$ que asumió sin fricción. Obtenga las ecuaciones de movimiento.

El Lagrangiano en coordenadas polares, suponiendo gravedad hacia el eje z negativo, es

L = \frac{1}{2} metro ({\dot{ρ}}^{2} + ρ^{2} {\dot{φ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - metro gramo z; \ddot{q} \equiv \frac{d \dot{q}}{d t} \equiv \frac{d^{2} q}{d t^{2}}

$L=\frac 1 2m\left(\dot\rho^2+\rho^2\dot\varphi^2+\dot z^2\right)-mgz;\qquad \ddot q\equiv\frac {d\dot q} {dt}\equiv\frac{d^2 q}{dt^2}$ restricciones impuestas condición implica

F = ρ^{2} - a z = 0

$f=\rho^2-az=0$ Las ecuaciones de Lagrange para este sistema son

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = λ \frac{\partial F}{\partial q_{i}}

$\frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=\lambda\frac{\partial f}{\partial q_i}$

λ

$\lambda$ es un multiplicador de Lagrange. Entonces a

q_{1} = ρ

$q_1=\rho$ ,

q_{2} = z

$q_2=z$ ,

q_{3} = φ

$q_3=\varphi$

metro \ddot{ρ} - metro ρ {\dot{φ}}^{2} = 2 ρ λ

$\fbox{$m\ddot\rho-m\rho\dot \varphi^2=2\rho\lambda$}$

metro \ddot{z} + metro gramo = - a λ

$\fbox{$m\ddot z+mg=-a\lambda $}$

\frac{d}{d t} (ρ^{2} \dot{φ}) = 0

$\fbox{$ \frac{d}{dt}\left(\rho^2\dot\varphi\right)=0$}$

ρ^{2} - a z = 0

$\fbox{$\rho^2-az=0$}$

ρ \in [0, + \infty), φ \in [0, 2 π), z \in (- \infty, + \infty)

$\rho\in[0,+\infty),\quad\varphi\in[0,2\pi),\quad z\in(-\infty,+\infty)$ No sé cómo resolver este sistema de ecuaciones, y lo más importante es determinar

λ

$\lambda$ .

Del sistema de ecuaciones pude deducir que

ρ^{2} \dot{φ} = C_{0}

$\rho^2\dot\varphi=c_0$

metro \ddot{ρ} - metro \frac{C_{0}^{2}}{ρ^{3}} = 2 ρ λ

$m\ddot\rho-m\frac{c_0^2}{\rho^3}=2\rho\lambda$

a z \dot{φ} = C_{0}

$az\dot\varphi=c_0$

\dot{z} \dot{φ} + z \ddot{φ} = 0

$\dot z\dot\varphi+z\ddot\varphi=0$

en coordenadas cartesianas

metro \ddot{y} = 2 y λ

$\fbox{$m\ddot y=2y\lambda$}$

metro \ddot{X} = 2 X λ

$\fbox{$m\ddot x=2x\lambda$}$

metro \ddot{z} + metro gramo = - a λ

$\fbox{$m\ddot z+mg=-a\lambda $}$

X^{2} + y^{2} - a z = 0

$\fbox{$x^2+y^2-az=0$}$

Semiclásico

Las unidades del segundo término de tu primera ecuación encuadrada no son consistentes con el resto de la ecuación. Así que volvería a verificar los derivados involucrados.

cristian rodriguez

ok corregido, gracias...

usuario5402

Encontrar

\dot{φ}

$\dot\varphi$ de la tercera ecuación y sustituirla en la 1ra.

Respuestas (2)

¿Cómo resolver el sistema de ecuaciones diferenciales para esta partícula?

Las unidades del segundo término de tu primera ecuación encuadrada no son consistentes con el resto de la ecuación. Así que volvería a verificar los derivados involucrados.
Encontrar $\dot\varphi$ de la tercera ecuación y sustituirla en la 1ra.

rana globo ocular · Answer 1

Parece que ha encontrado con éxito un conjunto de ecuaciones de movimiento para la partícula. Sí, podrías eliminar algunas variables, pero a menos que el problema diga que lo hagas, realmente no hay necesidad.

Si quieres resolver esto, bueno, las cosas se vuelven un poco más complejas. Sabemos que este es un sistema que conserva la energía y el momento angular, por lo que sabemos que las ecuaciones de movimiento se pueden simplificar a

ρ^{2} \dot{φ} = C_{0} \frac{metro}{2} ({\dot{ρ}}^{2} + ρ^{2} {\dot{φ}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) + metro gramo z = mi ρ^{2} - a z = 0.

$\rho^2\dot{\varphi} = c_0 \\ \frac{m}{2}\left(\dot{\rho}^2 + \rho^2\dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2\right) + mgz = E\\ \rho^2 - az = 0.$ Para derivar esto de las ecuaciones de movimiento de Lagrange, multiplique el

ρ

$\rho$ ecuación por

\dot{ρ}

$\dot{\rho}$ , el

z

$z$ ecuación por

\dot{z}

$\dot{z}$ , y súmalos. Todo se simplificará a la conservación de la energía dada anteriormente.

Sustituyendo por $\dot{\varphi}$ y $z$ da

\frac{metro}{2} [(1 + \frac{4 ρ^{2}}{a^{2}}) {\dot{ρ}}^{2} + \frac{C_{0}^{2}}{ρ^{2}}] + \frac{metro gramo}{a} ρ^{2} = mi .

$\frac{m}{2}\left[\left(1 + \frac{4\rho^2}{a^2}\right)\dot{\rho}^2 + \frac{c_0^2}{\rho^2}\right] + \frac{mg}{a}\rho^2 = E.$ Esta es una ecuación de primer orden separable, por lo que en principio tiene solución. Podemos deshacernos de muchas de las constantes usando

ρ (t) = (a / 2) r (t \sqrt{2 g / a})

$\rho(t) = (a/2)r(t\sqrt{2g/a})$ :

(1 + r^{2}) {\dot{r}}^{2} + \frac{k}{r^{2}} + r^{2} = ϵ; k \equiv \frac{8 C_{0}^{2}}{a^{3} gramo}, ϵ \equiv \frac{4 mi}{metro gramo a}

$(1 + r^2)\dot{r}^2 + \frac{k}{r^2} + r^2 = \epsilon\;\;\;\;;\;\;\;\; k\equiv \frac{8c_0^2}{a^3 g}\,,\,\, \epsilon\equiv \frac{4E}{mga}$ Si bien es notablemente más limpio que antes, sigue siendo un desastre. Así es la vida en dinámica. Separar y usar un

u

$u$ -la sustitución da

\frac{1}{2} \int_{r_{0}^{2}}^{r^{2}} \sqrt{\frac{1 + tu}{ϵ tu - {tu}^{2} - k}} d tu = t - t_{0}

$\frac{1}{2}\int_{r_0^2}^{r^2}\sqrt{\frac{1+u}{\epsilon u - u^2 - k}}du = t - t_0$ que es una solución, aunque implícita, con la que puede ser difícil trabajar.

Frederic · Answer 2

normalmente no encuentras $\lambda$ , pero use su restricción para eliminar el grado de libertad no físico (3 variables en su parametrización, 2 grados de libertad en el sistema).

Con más detalle, diferencie la restricción dos veces, conéctela en el $z$ ecuación de movimiento, multiplique apropiadamente para igualar la $\rho$ ecuación. Usted obtiene

metro \ddot{ρ} - metro ρ {\dot{ϕ}}^{2} = - 2 ρ \frac{metro}{a} (gramo + \frac{2}{a} ({\dot{ρ}}^{2} + ρ \ddot{ρ}))

$m \ddot\rho -m \rho \dot\phi^2 = -2\rho\frac m a \left(g+ \frac 2 a(\dot\rho^2 + \rho\ddot\rho)\right)$

lo que lleva a

\ddot{ρ} - ρ {\dot{ϕ}}^{2} + 2 \frac{gramo}{a} ρ + 4 \frac{ρ}{a^{2}} ({\dot{ρ}}^{2} + ρ \ddot{ρ}) = 0.

$\ddot\rho-\rho\dot\phi^2 + 2\frac g a \rho+4\frac{\rho}{a^2}\left(\dot\rho^2 + \rho\ddot\rho\right) =0.$

Esta es la ecuación de movimiento del Lagrangiano (eliminando $z$ desde el comienzo, $m=1$ )

L = \frac{1}{2} ({\dot{ρ}}^{2} + ρ^{2} {\dot{ϕ}}^{2} + \frac{4}{a^{2}} (ρ \dot{ρ})^{2}) - \frac{gramo}{a} ρ^{2}

$L=\frac 1 2 (\dot\rho^2 + \rho^2\dot\phi^2 +\frac{ 4}{ a^2} (\rho\dot\rho)^2) -\frac g a \rho^2$

como debería ser.

En cuanto a la solución de las ecuaciones, no lo sé.

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cristian rodriguez

Semiclásico

cristian rodriguez

usuario5402

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rana globo ocular

Frederic

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