Combinación de rotaciones para el movimiento orbital y rotacional de un planeta.

Question

Combinación de rotaciones para el movimiento orbital y rotacional de un planeta.

atapaka

Si tengo un planeta que orbita alrededor del Sol (suponiendo una órbita circular) a velocidad angular $\Omega$ y girando alrededor de su eje en $\omega$ . También tengo una normal a la superficie del planeta. $\vec{n}_{\rm surf}$ , la normal al plano orbital $\vec{n}_{\rm o}$ , y la dirección al Sol desde el planeta y una normal a la superficie del planeta $\vec{n}_{\rm sun}$ . La pregunta es ¿cómo puedo obtener el producto escalar? $\vec{n}_{\rm sun}(t)\cdot\vec{n}_{\rm surf}(t)$ en cualquier momento durante la órbita dados estos valores en algún $t=0$ , p.ej. en perihelio? El problema es que son dos rotaciones que hay que combinar. Tengo dos enfoques:

Mi primer acercamiento es estar en el sistema de coordenadas del planeta, mira la imagen:

El problema aquí es que $\vec{n}_{\rm o}$ está cambiando debido a la rotación alrededor $z$ -eje del planeta. Así que estoy pensando:

Girar $\vec{n}_{\rm o}(0)$ acerca de $\vec{z}$ por ${\rm d}t * \omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm o}(1)$
Girar $\vec{n}_{\rm sun}(0)$ acerca de $\vec{n}_{\rm o}(0)$ por ${\rm d}t * \Omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm sun}(1)$
Girar $\vec{n}_{\rm o}(1)$ acerca de $\vec{z}$ por ${\rm d}t * \omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm o}(2)$
Girar $\vec{n}_{\rm sun}(1)$ acerca de $\vec{n}_{\rm o}(1)$ por ${\rm d}t * \Omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm sun}(2)$
Continuar, hasta que llegue $\vec{n}_{\rm sun}(t)$
Porque $\vec{z}$ es constante, puedo conseguir $\vec{n}_{\rm surf}(t)$ directamente como rotación de $\vec{n}_{\rm surf}(0)$ acerca de $z$ -eje por $t * \omega$

Sé que esto es solo una solución aproximada y la calidad depende de ${\rm d}t$ paso. Así que estaba pensando, ¿no obtendría los mismos resultados con este segundo enfoque ?

Supongo que estoy en las coordenadas del sol (despreciando su rotación), tal que el $z$ -el eje es normal al plano orbital, $x$ eje es tal que apunta al perihelio. Mira la foto:

Ahora mi enfoque sería:

Girar $\vec{n}_{\rm sun}(0)$ acerca de $z$ eje por $t*\Omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm sun}(t)$ .
Girar $\vec{n}_{\rm surf}(0)$ acerca de $\vec{n}_{\rm spin}$ por $t*\omega$ Llegar $\vec{n}_{\rm surf}(t)$ .

La razón por la que creo que puedo hacer esto es que $\vec{n}_{\rm spin}$ no cambiará por rotación orbital y tampoco lo hará $\vec{n}_{\rm surf}$ . Pero no estoy muy seguro de esta suposición.

honeste_vivere

Puede elegir la base de coordenadas y el marco de referencia a partir del cual define todos los demás parámetros. Entonces, ¿por qué complicarte la vida? Encuentre los dos que reducen la cantidad de parámetros cambiantes (p. ej., su segundo enfoque de ejemplo se ve mejor). Tampoco has definido con respecto a qué

{\vec{n}}_{s u r f}

$\vec{n}_{surf}$ ¿se define? A menos que esté fijo en algún punto del planeta, no necesita cambiar en ningún sistema de coordenadas porque es arbitrario.

atapaka

@honeste_vivere

{\vec{n}}_{s u r f}

$\vec{n}_{\rm surf}$ está fijo con el planeta, por lo que en coordenadas planetocéntricas, es la normal de un punto dado por latitud y longitud, por ejemplo, la ubicación de una ciudad en la Tierra, gira con el planeta. Al final necesito el producto escalar

{\vec{n}}_{s u r f} (t) \cdot {\vec{n}}_{s u n} (t)

$\vec{n}_{\rm surf}(t)\cdot\vec{n}_{\rm sun}(t)$ . El segundo enfoque se ve muy bien, pero el problema aquí es si hay algunas complejidades ocultas de las que no soy consciente, como en el primer enfoque, uno de los ejes sobre los que haces una de las rotaciones está girando. (espero no confundirme mucho)

kleingordon

Si puede escribir la trayectoria de la superficie del planeta en un sistema de coordenadas centrado en el sol, quizás parametrizado por tiempo, entonces puede calcular los productos punto entre todos los vectores que le interesan en cualquier momento. No se necesitan pasos dt, no hay rotaciones separadas de vectores individuales

Suzu Hirose

Esto parece un problema relativamente simple en trigonometría que no requiere ningún conocimiento de física.

atapaka

@SuzuHirose No entiendo el punto de su comentario o cómo debería ser útil para responder la pregunta o mejorar la pregunta en sí. Además, familiarícese con los términos antes de usarlos (p. ej., trigonometría).

Suzu Hirose

Estoy familiarizado con el término "trigonometría", que es todo lo que se requiere para resolver este problema. No se requiere física.

atapaka

La trigonometría se ocupa de las relaciones entre ángulos y lados, no de la cinemática de cuerpos rígidos.

Respuestas (4)

Combinación de rotaciones para el movimiento orbital y rotacional de un planeta.

Puede elegir la base de coordenadas y el marco de referencia a partir del cual define todos los demás parámetros. Entonces, ¿por qué complicarte la vida? Encuentre los dos que reducen la cantidad de parámetros cambiantes (p. ej., su segundo enfoque de ejemplo se ve mejor). Tampoco has definido con respecto a qué $\vec{n}_{surf}$ ¿se define? A menos que esté fijo en algún punto del planeta, no necesita cambiar en ningún sistema de coordenadas porque es arbitrario.
@honeste_vivere $\vec{n}_{\rm surf}$ está fijo con el planeta, por lo que en coordenadas planetocéntricas, es la normal de un punto dado por latitud y longitud, por ejemplo, la ubicación de una ciudad en la Tierra, gira con el planeta. Al final necesito el producto escalar $\vec{n}_{\rm surf}(t)\cdot\vec{n}_{\rm sun}(t)$ . El segundo enfoque se ve muy bien, pero el problema aquí es si hay algunas complejidades ocultas de las que no soy consciente, como en el primer enfoque, uno de los ejes sobre los que haces una de las rotaciones está girando. (espero no confundirme mucho)
Si puede escribir la trayectoria de la superficie del planeta en un sistema de coordenadas centrado en el sol, quizás parametrizado por tiempo, entonces puede calcular los productos punto entre todos los vectores que le interesan en cualquier momento. No se necesitan pasos dt, no hay rotaciones separadas de vectores individuales
Esto parece un problema relativamente simple en trigonometría que no requiere ningún conocimiento de física.
@SuzuHirose No entiendo el punto de su comentario o cómo debería ser útil para responder la pregunta o mejorar la pregunta en sí. Además, familiarícese con los términos antes de usarlos (p. ej., trigonometría).
Estoy familiarizado con el término "trigonometría", que es todo lo que se requiere para resolver este problema. No se requiere física.
La trigonometría se ocupa de las relaciones entre ángulos y lados, no de la cinemática de cuerpos rígidos.

Miguel · Answer 1

el producto punto $\vec{n}_{sun}(t) \cdot \vec{n}_{surf}(t)$ se puede calcular como $||\vec{n}_{sun}|| \cdot ||\vec{n}_{surf}|| \cos(\theta(t))$ . Tenga en cuenta que llevé la variable de tiempo solo al ángulo, ya que asumo de su descripción que la magnitud de los vectores normales es constante en el tiempo. Desde ese punto usa tus ángulos $\Theta = \Theta_o + \Omega \cdot t$ y $\theta = \theta_o + \omega \cdot t$ y combine esto para construir los ángulos de Euler ( https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles ) del planeta.

Esto debería ponerte en camino. Para los detalles me pondría el sombrero de profesor y se lo dejaría al lector interesado.

He estado pensando en su respuesta durante algún tiempo, pero todavía no puedo ver qué buenos ángulos de Euler harán aquí. Tal vez, quiso decir que desde el sistema de coordenadas fijas de la superficie del planeta, puede transformarse al sistema de coordenadas fijas del Sol, luego solo hace el producto punto con constante $\vec{n}_{\rm sun}$ que en este caso apunta constantemente al, por ejemplo, perihelio (o posición en $t=0$ ). Pero esto es igual a mi segunda solución propuesta, ¿no?

SaMaSo · Answer 2

(No estoy muy seguro de entender correctamente las suposiciones de su problema).

"La razón por la que creo que puedo hacer esto es que $\vec{n}_{spin}$ no cambiará por rotación orbital y tampoco lo hará $\vec{n}_{surf}$ . Pero no estoy muy seguro de esta suposición"

Creo que esta suposición está un poco en la definición de $\vec{\Omega}$ y $\vec{\omega}$ . [ $\vec{\Omega}$ simplemente mueve el planeta sólidamente alrededor de la órbita (y su valor determina la velocidad angular del centro del planeta alrededor del sol), y $\vec{\omega}$ determina el valor de la velocidad angular de la superficie del planeta alrededor de un eje (llámese $z'$ ), que está fijo como lo ve un observador que vive en el planeta.]

Como probablemente sabrá, si un vector con una longitud fija gira alrededor de un eje con una velocidad angular, el producto cruzado de la velocidad angular y ese vector en un momento específico da la tasa de cambio de ese vector en ese momento. Entonces tenemos:

\frac{d {\vec{norte}}_{s tu norte}}{d t} = \vec{Ω} \times {\vec{norte}}_{s tu norte},

$\frac{d \vec{n}_{sun}}{d t} = \vec{\Omega}\times\vec{n}_{sun},$ y también:

\frac{d {\vec{norte}}_{s tu r F}}{d t} = \vec{ω} \times {\vec{norte}}_{s tu r F},

$\frac{d \vec{n}_{surf}}{d t} = \vec{\omega} \times \vec{n}_{surf},$ entonces podemos proceder al producto interno:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} ({\vec{norte}}_{s tu norte} . {\vec{norte}}_{s tu r F}) & = (\vec{Ω} \times {\vec{norte}}_{s tu norte}) . {\vec{norte}}_{s tu r F} + {\vec{norte}}_{s tu norte} . (\vec{ω} \times {\vec{norte}}_{s tu r F}) \\ = {\vec{norte}}_{s tu r F} . [(\vec{Ω} - \vec{ω}) \times {\vec{norte}}_{s tu norte}] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\vec{n}_{sun}. \vec{n}_{surf}) &= (\vec{\Omega}\times \vec{n}_{sun}).\vec{n}_{surf} + \vec{n}_{sun}.(\vec{\omega} \times \vec{n}_{surf})\\ &= \vec{n}_{surf}.[(\vec{\Omega}-\vec{\omega})\times \vec{n}_{sun}] \end{align}$

Y luego elija una coordenada adecuada y resuelva esta ecuación (En realidad, parece que resolver para $\vec{n}_{surf}$ y $\vec{n}_{sun}$ directamente es mucho más fácil)
Espero que ayude.

en cuanto a la suposición, según las imágenes en esta página wiki (especialmente la primera), parece que es aplicable en este problema.
dado su comentario, el sistema de coordenadas adecuado para hacer esto se fijaría en el sol con un punto de eje en el perihelio y el eje z perpendicular al plano orbital. Entonces las dos rotaciones independientes, una girando el vector que apunta desde el sol al planeta simplemente $\Omega \,t$ alrededor $z$ eje el otro girando la superficie normal alrededor $\vec{\omega}$ por $\omega$ debería dar los vectores rotados necesarios que luego pueden hacer el producto escalar, ¿no?

cmaster - reincorporar a monica · Answer 3

Tienes cuatro sistemas de coordenadas diferentes en juego aquí:

Coordenadas fijadas a tierra. Piense en latitud/longitud/altura, o algún sistema cartesiano donde Londres se mantenga en una sola coordenada constante.
Coordenadas fijadas al centro de masa de la tierra, pero fijadas rotacionalmente a la esfera celeste. En este sistema de coordenadas, los lugares en el ecuador se mueven hacia el este a una velocidad de $\frac{40000km}{24h} = 1667\frac{km}{h}$ .
Coordenadas fijadas al centro de masa del sol, pero rotacionalmente fijadas a la esfera celeste. En este sistema, los polos de la tierra ya no están estacionarios, se mueven alrededor del sol en $\frac{150\cdot10^6km\cdot2\pi}{365.25\cdot24h} \approx 100000km/h$
Coordenadas fijadas al centro de masa del sol, pero fijadas rotacionalmente para seguir el centro de masa de la tierra en su viaje anual alrededor del sol. En este sistema, el propio eje de la tierra gira a medida que pasa el año.

Entre estos tres sistemas de coordenadas, tiene transformaciones simples:

1 <-> 2: Gira sobre el eje de la tierra.

Tanto los vectores normales como los de ubicación se traducen.
2 <-> 3: Traducir a lo largo del vector que conecta el centro de masa de la tierra y el sol.

Esta transformación no cambia ningún vector normal.
3 <-> 4: Gira alrededor del sol dentro del plano orbital de la tierra.

De nuevo, tanto las normales como los vectores de ubicación se transforman.

Todas estas transformaciones dependen del tiempo.

tu vector $\vec{n}_{surf}$ es una constante en el sistema de coordenadas 1; $\vec{n}_{sun}$ es una constante en el sistema 4.

Como tal, todo lo que necesita hacer es transformar $vec{n}_{surf}$ hasta que se exprese en las coordenadas del sistema 4, o transforme $vec{n}_{sun}$ hasta que se exprese en las coordenadas del sistema 1. De cualquier manera, una vez que tienes ambos vectores en el mismo sistema de coordenadas, calcular su producto escalar es trivial.

Notas:

Las transformaciones son dependientes del tiempo, por lo que después de la primera transformación los vectores serán funciones del tiempo. $\vec{n}_{surf}(t)$ y $\vec{n}_{sun}(t)$ .
La segunda transformación es un noop en vectores normales. Todo lo que importa son las dos rotaciones. Simplemente necesita aplicar dos rotaciones dependientes del tiempo alrededor de dos ejes diferentes .

eli · Answer 4

Supongo que el planeta está girando sobre el eje de la superficie. $\vec{n}_f$ con el ángulo de rotación $\omega\,t$ , y gira alrededor del sol con el eje de rotación $\vec{n}_0$ con el ángulo $\Omega\,t$ .

Dónde $\vec{n}_f$ es tuyo $\vec{n}_{surf}$ vector

De este modo:

R_{pag} = R_{norte 0} (Ω t, {\vec{\hat{norte}}}_{0}) R_{F} (ω t, {\vec{\hat{norte}}}_{F})

$R_p=R_{n0}(\Omega\,t,\vec{\hat{n}}_0)\,R_f(\omega\,t,\vec{\hat{n}}_f)$

Dónde $R_{n0}\,,R_p$ son las matrices de rotación de Rodríguez y $R_p$ es la matriz de rotación entre el marco fijo del planeta y el marco inercial.

el vector $\vec{n}_{sun}$ está girando con $R_{n0}$ y el vector $\vec{n}_f$ está girando con $R_p$ matriz, por lo que tomando el producto escalar:

con :

{\vec{norte}}_{s} = R_{norte 0} {\vec{norte}}_{s} (0)

$\vec{n}_s=R_{n0}\,\vec{n}_s(0)$

{\vec{norte}}_{F} = R_{pag} {\vec{norte}}_{F} (0)

$\vec{n}_f=R_{p}\,\vec{n}_f(0)$

De este modo:

{\vec{norte}}_{s} \cdot {\vec{norte}}_{F} = ({\vec{norte}}_{s} (0))^{T} (R_{norte 0})^{T} R_{norte 0} R_{F} {\vec{norte}}_{F} (0) = ({\vec{norte}}_{s} (0)) \cdot [R_{F} (ω t, {\vec{\hat{norte}}}_{F}) {\vec{norte}}_{F} (0)]

$\vec{n}_{s}\cdot \vec{n}_{f}=(\vec{n}_s(0))^T\,(R_{n0})^T\,R_{n0}\,R_f\,\vec{n}_f(0) =(\vec{n}_s(0))\cdot \left[\,R_f(\omega\,t,\vec{\hat{n}}_f)\,\vec{n}_f(0)\right]$

Combinación de rotaciones para el movimiento orbital y rotacional de un planeta.

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