¿Cómo encuentra cantidades conservadas para EDO lineales de segundo orden?

+1 a la respuesta de Marek. Te daré algunas referencias.

La referencia canónica es sin duda

• Peter J. Olver - Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales

Compré este libro hace unos años, pero no he encontrado mucho tiempo para estudiarlo a fondo. Pero si conoce bien la geometría diferencial moderna (variedades, campos vectoriales, pull-back, formas diferenciales, ...), entonces este libro es un placer de leer. Para presentaciones más fáciles/menos formales, eche un vistazo a

• Brian Cantwell - Introducción al análisis de simetría
• Peter E. Hydon y Peter Ellsworth Hydon - Métodos de simetría para ecuaciones diferenciales: una guía para principiantes

No conozco muy bien estos dos libros, pero les eché un vistazo rápido hace unos años y me parecieron bastante útiles.

Existe una teoría de Lie muy general que es más útil para las ecuaciones diferenciales parciales, pero también se puede aplicar aquí. La teoría completa no es fácil de explicar y solo estoy familiarizado con ella de un curso al que asistí, por lo que no puedo dar una referencia desde la parte superior de mi futuro. Intentaré proporcionarlo más tarde. Trate de buscar palabras clave simetrías y cantidades conservadas y transformación de contacto .

El punto básico es encontrar transformaciones infinitesimales.$(t,y) \to (t,y) + \epsilon(t,y)$que preservan la ecuación. Bajo circunstancias especiales (como la posibilidad de formulación variacional del problema) algunos de estos dan lugar a cantidades conservadas vía el teorema de Noether. Pero no es necesario que haya cantidades conservadas asociadas (de hecho, el espacio de transformaciones infinitesimales que preservan la ecuación es de dimensión infinita).