Una pregunta sobre la transformación canónica

Question

Una pregunta sobre la transformación canónica

Física
Matemáticas
corchetes de poisson
mecanica clasica
física-matemática
formalismo hamiltoniano

usuario25607

He publicado esta pregunta en math.stackexchange antes sin respuesta hasta ahora. Puede ser más adecuado publicar aquí.

Hay un problema en los Métodos matemáticos de la mecánica clásica de Arnold que dice que:

Muestre que el mapa $A: \mathbb{R}^{2n} \rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ enviando $(p, q) \rightarrow (P(p,q), Q(p,q))$ es canónica (p206) si y solo si los frenos de Poisson de dos funciones cualesquiera en las variables $(p,q)$ y $(P,Q)$ coincidir:
$(F, H)_{pag, q} = \frac{\partial H}{\partial pag} \frac{\partial F}{\partial q} - \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial pag} = \frac{\partial H}{\partial PAG} \frac{\partial F}{\partial q} - \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial PAG} = (F, H)_{PAG, q} .$ $(F,H)_{p,q} = \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial F}{\partial q} - \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial F}{\partial p} = \frac{\partial H}{\partial P} \frac{\partial F}{\partial Q} - \frac{\partial H}{\partial Q} \frac{\partial F}{\partial P} = (F,H)_{P,Q}.$

No puedo resolver este problema y pensar en ello de la siguiente manera: De $(F,H)_{p,q} = (F,H)_{P,Q}$ Puedo inducir eso

\sum_{i} det (\frac{\partial ({PAG}_{j}, {PAG}_{k})}{\partial ({pag}_{i}, q_{i})}) = \sum_{i} det (\frac{\partial (q_{j}, q_{k})}{\partial ({pag}_{i}, q_{i})}) = 0, \sum_{i} det (\frac{\partial ({PAG}_{j}, q_{k})}{\partial ({pag}_{i}, q_{i})}) = d_{j, k},

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, P_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(Q_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_j, Q_k)}{\partial(p_i, q_i)} \right) = \delta_{j,k},$ y

\sum_{i} det (\frac{\partial ({pag}_{j}, {pag}_{k})}{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}) = \sum_{i} det (\frac{\partial (q_{j}, q_{k})}{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}) = 0, \sum_{i} det (\frac{\partial ({pag}_{j}, q_{k})}{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}) = d_{j, k} .

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, p_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(q_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_j, q_k)}{\partial(P_i, Q_i)} \right) = \delta_{j,k}.$ Pero por otro lado, para inducir

d P \land d Q = d p \land d q

$dP\wedge dQ = dp \wedge dq$ necesito eso

\sum_{i} det (\frac{\partial ({pag}_{i}, q_{i})}{\partial ({PAG}_{j}, {PAG}_{k})}) = \sum_{i} det (\frac{\partial ({pag}_{i}, q_{i})}{\partial (q_{j}, q_{k})}) = 0, \sum_{i} det (\frac{\partial ({pag}_{i}, {pag}_{i})}{\partial ({PAG}_{j}, q_{k})}) = d_{j, k},

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)}{\partial(P_j, P_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, q_i)} {\partial(Q_j, Q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(p_i, p_i)}{\partial(P_j, Q_k)} \right) = \delta_{j,k},$ o

\sum_{i} det (\frac{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}{\partial ({pag}_{j}, {pag}_{k})}) = \sum_{i} det (\frac{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}{\partial (q_{j}, q_{k})}) = 0, \sum_{i} det (\frac{\partial ({PAG}_{i}, q_{i})}{\partial ({pag}_{j}, q_{k})}) = d_{j, k} .

$\sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, p_k)} \right) = \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(q_j, q_k)} \right) = 0, \sum_i \det\left( \frac{\partial(P_i, Q_i)}{\partial(p_j, q_k)} \right) = \delta_{j,k}.$ ¿Hay algo mal en el razonamiento anterior? ¿Puedes mostrarme cómo resolver este problema?

Respuestas (1)

Una pregunta sobre la transformación canónica

qmecanico · Answer 1

La prueba buscada de OP se acorta si primero introducimos alguna notación simpléctica. Consideremos por tanto una variedad simpléctica $(M;\omega)$ . En un gráfico local $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$ , la forma simpléctica de dos lecturas
$\begin{matrix} (1) & ω = \frac{1}{2} ω_{I j} d X^{I} \land d X^{j}, \end{matrix}$ $\tag{1} \omega~=~\frac{1}{2} \omega_{IJ}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^J ,$ y el bivector de Poisson correspondiente $\begin{matrix} (2) & π = \frac{1}{2} π^{I j} \partial_{I} \land \partial_{j}, \end{matrix}$ $\tag{2} \pi~=~\frac{1}{2} \pi^{IJ}~\partial_I \wedge \partial_J,$ dónde $\begin{matrix} (3) & ω_{I j} π^{j k} = d_{I}^{k} . \end{matrix}$ $\tag{3} \omega_{IJ} ~\pi^{JK}~=~\delta_I^K.$ El paréntesis de Poisson dice $\begin{matrix} (4) & {F, gramo}_{PAG B} = (\partial_{I} F) π^{I j} (\partial_{j} gramo) . \end{matrix}$ $\tag{4} \{f,g\}_{PB} ~=~ (\partial_I f) \pi^{IJ} (\partial_J g).$ Ver también, por ejemplo, este y este Phys.SE publicaciones.
En una carta local de Darboux $U\subseteq \mathbb{R}^{2n}$ , la forma simpléctica de dos lecturas
$\begin{matrix} (4) & ω = \frac{1}{2} (j^{- 1})_{I k} d X^{I} \land d X^{k} = - \frac{1}{2} j^{I k} d X^{I} \land d X^{k}, \end{matrix}$ $\tag{4} \omega~=~\frac{1}{2}(J^{-1})_{IK}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^K~=~-\frac{1}{2}J^{IK}~\mathrm{d}x^I \wedge \mathrm{d}x^K,$ y el paréntesis de Poisson correspondiente dice $\begin{matrix} (5) & {X^{I}, X^{k}}_{PAG B} = j^{I k}, \end{matrix}$ $\tag{5} \{x^I,x^K\}_{PB}~=~J^{IK},$ dónde $\begin{matrix} (6) & j = [\begin{matrix} 0_{norte} & I_{norte} \\ - I_{norte} & 0_{norte} \end{matrix}], j^{2} = - I_{2 norte} . \end{matrix}$ $\tag{6} J ~=~\begin{bmatrix} 0_n & I_n \cr -I_n & 0_n \end{bmatrix}, \qquad J^2~=~-I_{2n}.$
Ahora volvamos a la pregunta de OP con algunas pistas. La definición de una transformación canónica $^1$ $\phi:M\to M$ dada en la Ref. 1 es equivalente a la noción de un simplectomorfismo
$\begin{matrix} (7) & ϕ^{*} ω = ω . \end{matrix}$ $\tag{7} \phi^{\ast}\omega ~=~\omega.$ Elijamos un barrio local de Darboux. Sea la matriz de Jacobi para el simplectomorfismo $\begin{matrix} (8) & {METRO}^{I}_{j} := \frac{\partial ϕ^{I} (X)}{\partial X^{j}} . \end{matrix}$ $\tag{8} M^I{}_J ~:=~\frac{\partial \phi^I(x)}{\partial x^J}.$
Demuestre que la condición (7) implica que la matriz $M$ es una matriz simpléctica
$\begin{matrix} (9) & {METRO}^{t} j^{- 1} METRO = j^{- 1}, \end{matrix}$ $\tag{9} M^t J^{-1} M~=~ J^{-1},$ o equivalente, $\begin{matrix} (10) & METRO j {METRO}^{t} = j . \end{matrix}$ $\tag{10} M J M^t~=~ J.$
Demostrar que la condición simpléctica (10) es equivalente a la conservación del corchete de Poisson
$\begin{matrix} (11) & {ϕ^{I} (X), ϕ^{j} (X)}_{PAG B} = {X^{I}, X^{j}}_{PAG B} . \end{matrix}$ $\tag{11} \{ \phi^I(x),\phi^J(x)\}_{PB}~=~\{x^I,x^J\}_{PB}.$

Referencias:

VI Arnold, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 2ª ed., 1989; pag. 206.

--

$^1$ Tenga en cuenta que diferentes autores dan diferentes definiciones de una transformación canónica , cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Una pregunta sobre la transformación canónica

usuario25607

Respuestas (1)

qmecanico

Conexión entre corchetes de Poisson y forma simpléctica

Hojas simplécticas, toros y variedades de Poisson

Intuición sobre los mapas de momento

Acción del momento conjugado sobre TMTMTM y forma explícita

¿Es una transformación canónica equivalente a una transformación que conserva el volumen y la orientación?

¿Cómo saber si una transformación es una transformación canónica?

Cargas/constantes de movimiento conservadas dentro y fuera del caparazón

¿Sistema unidimensional un sistema hamiltoniano?

¿Existe alguna relación entre los corchetes de Poisson y la matriz jacobiana?

Analogía del operador tensorial en la física clásica