Comprender cómo determinar el vector de estado de evolución temporal para un operador unitario construido a partir de operadores no conmutables

Question

Comprender cómo determinar el vector de estado de evolución temporal para un operador unitario construido a partir de operadores no conmutables

Física
hamiltoniano
giro cuántico
estados-cuánticos
evolución del tiempo
mecánica cuántica

DJA

Supongamos que tenemos un hamiltoniano independiente del tiempo

H = ℏ gramo (σ_{X} + σ_{y} + σ_{z})

$H = \hbar g (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$

Sé que el operador unitario es el siguiente:

tu (t) = mi X pag (- i H t / ℏ)

$U(t) = exp(-iHt/{\hbar})$ Dado que los operadores de espín de Pauli en H anticonmutan por pares, sabemos que

mi X pag (- i t gramo (σ_{X} + σ_{y} + σ_{z})) \neq mi X pag (- i t gramo σ_{X}) mi X pag (- i t gramo σ_{y}) mi X pag (- i t gramo σ_{z})

$exp(-itg(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)) \neq exp(-itg\sigma_x) exp(-itg\sigma_y) exp(-itg\sigma_z)$

Mi pregunta es cómo usamos esta información para deducir el vector de estado evolucionado en el tiempo para la partícula $|\psi(t)\rangle = U(t)|\psi(0)\rangle$ .

Supongamos que sabemos que $|\psi(0)\rangle = |\uparrow\rangle$

Podemos afirmar que

| ψ (t) ⟩ = mi X pag (- i t gramo (σ_{X} + σ_{y} + σ_{z})) | ↑ ⟩

$|\psi(t)\rangle = exp(-itg(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z))|\uparrow\rangle$

También sé que para un operador A y escalar $\alpha$ tenemos la identidad

mi X pag (i A α) = C o s (α) + i s i norte (α) A

$exp(iA\alpha) = cos(\alpha ) + isin(\alpha)A$

En general, para este tipo de problemas, los operadores viajan diariamente, por lo que intentaría resolver algo similar a

| ψ (t) ⟩ = mi X pag (- i t gramo σ_{X}) mi X pag (- i t gramo σ_{y}) mi X pag (- i t gramo σ_{z}) | ↑ ⟩

$|\psi(t)\rangle = exp(-itg\sigma_x) exp(-itg\sigma_y) exp(-itg\sigma_z) |\uparrow \rangle$ y luego invoque la relación del operador A. Sin embargo, dado que los operadores de pauli son anticonmutadores por parejas, no puedo hacer esto y no estoy seguro de cómo resolverlo de manera simplificada, como por ejemplo,

| ψ (t) ⟩ = mi X pag (- i t gramo (σ_{X} + σ_{y} + σ_{z})) | ↑ ⟩

$|\psi(t)\rangle = exp(-itg(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z))|\uparrow\rangle$

y así cualquier helo sería apreciado:

youpilat13

¿Intentaste primero encontrar la base propia del hamiltoniano? Una vez que conoce la base propia del hamiltoniano, puede expresar el propagador simplemente como

\sum_{n} e^{- i E_{n} t} | n ⟩ ⟨ n |

$\sum_n e^{-iE_nt}\vert n\rangle\langle n\vert$ y el estado en el momento

t

$t$ será simplemente

\sum_{n} e^{- i E_{n} t} | n ⟩ ⟨ n | ψ (0) ⟩

$\sum_n e^{-iE_nt}\vert n\rangle\langle n\vert\psi(0)\rangle$ .

youpilat13

También mencionaría que el hamiltoniano dado como una suma de operadores que no se desplazan no es nada exótico. Casi todos nuestros ejemplos en los cursos de QM involucran hamiltonianos del tipo

{\hat{p}}^{2} + V (\hat{x})

$\hat{p}^2 + V(\hat{x})$ y sabemos que

[\hat{p}, \hat{x}] \neq 0

$[\hat{p},\hat{x}]\neq 0$ ;-)

DJA

Eso es muy cierto, pero normalmente estoy acostumbrado a resolver cosas como

H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩

$H |\psi \rangle = E|\psi \rangle$ resolver cosas que son de la forma

e x p (- i H t / ℏ) | ψ ⟩

$exp(-iHt /\hbar)|\psi \rangle$ es un poco más difícil para mí en este momento.

youpilat13

Sí, pero el punto de mi comentario es que solo necesitas resolver el problema de valores propios para el hamiltoniano. El

H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩

$H\vert\psi\rangle = E\vert\psi\rangle$ que mencionaste. Una vez hecho esto, es trivial. No necesita trabajar con los operadores exponenciados porque toma la forma de escalares exponenciados en la base propia del hamiltoniano.

DJA

Sin embargo, todavía no veo cómo resolver el problema anterior. ¡Lo siento, no puedo ver qué hacer!

Respuestas (1)

Comprender cómo determinar el vector de estado de evolución temporal para un operador unitario construido a partir de operadores no conmutables

¿Intentaste primero encontrar la base propia del hamiltoniano? Una vez que conoce la base propia del hamiltoniano, puede expresar el propagador simplemente como $\sum_n e^{-iE_nt}\vert n\rangle\langle n\vert$ y el estado en el momento $t$ será simplemente $\sum_n e^{-iE_nt}\vert n\rangle\langle n\vert\psi(0)\rangle$ .
También mencionaría que el hamiltoniano dado como una suma de operadores que no se desplazan no es nada exótico. Casi todos nuestros ejemplos en los cursos de QM involucran hamiltonianos del tipo $\hat{p}^2 + V(\hat{x})$ y sabemos que $[\hat{p},\hat{x}]\neq 0$ ;-)
Eso es muy cierto, pero normalmente estoy acostumbrado a resolver cosas como $H |\psi \rangle = E|\psi \rangle$ resolver cosas que son de la forma $exp(-iHt /\hbar)|\psi \rangle$ es un poco más difícil para mí en este momento.
Sí, pero el punto de mi comentario es que solo necesitas resolver el problema de valores propios para el hamiltoniano. El $H\vert\psi\rangle = E\vert\psi\rangle$ que mencionaste. Una vez hecho esto, es trivial. No necesita trabajar con los operadores exponenciados porque toma la forma de escalares exponenciados en la base propia del hamiltoniano.
Sin embargo, todavía no veo cómo resolver el problema anterior. ¡Lo siento, no puedo ver qué hacer!

Ingeniero Cuántico · Answer 1

Hay una identidad muy útil para exponenciales de matrices de Pauli (ver https://math.stackexchange.com/questions/3236998/exponential-of-pauli-matrices/3237834 para una prueba):

$\begin{eqnarray} e^{i\theta \hat{\bf n}\cdot \sigma} = \cos \theta I + i(\hat{\bf n}\cdot \sigma) \sin \theta \end{eqnarray}$

Para tu hamiltoniano $\theta = -tg$ y $\hat{\bf n}\cdot \sigma = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z$ , lo que da:

$U(t) = \cos(tg)I - i\sin(tg)(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$

Tenga en cuenta que $U(t)$ también se puede representar convenientemente como un $2x2$ matriz que actúa sobre vectores que representan el estado cuántico:

$U(t) = \begin{bmatrix}\cos(tg) - i\sin(tg)& (-1-i)\sin(tg) \\ (1-i)\sin(tg) & \cos(tg) + i\sin(tg)\end{bmatrix}$

Entonces, con tu estado de ejemplo,

$|\psi(t)\rangle = U(t)|\uparrow\rangle = (\cos(tg) - i\sin(tg))|\uparrow\rangle + (1-i)\sin(tg) |\downarrow\rangle$

Alternativamente, puede seguir el método de los comentarios anteriores, donde toma la matriz $H$ , diagonalice esta matriz para encontrar los vectores propios y los valores propios, represente su estado inicial en esta base propia y luego haga evolucionar el estado en el tiempo usando los valores propios. Ambos métodos son equivalentes y, a menudo, el mejor método depende de la aplicación.

Primero, en notación vectorial, $|\uparrow\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $|\downarrow\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ . Esto es cierto debido a cómo definimos $\sigma_z$ y eso $\sigma_z|\uparrow\rangle = |\uparrow\rangle$ y $\sigma_z|\downarrow\rangle = - |\downarrow\rangle$ . Ahora podemos simplemente multiplicar directamente el estado en notación vectorial por la matriz $U$ , y finalmente reescribir en notación bra-ket.
Lo siento, esto fue hace un tiempo, pero también noté que el nuevo estado no está normalizado. ¿Por qué es esto y seguramente esto es un problema?
Sí, tienes razón, mis disculpas. Debe haber un factor de $1/\sqrt(3)$ , que proviene del hecho de que $\hat{n}$ debe ser un vector unitario. Debería obtener un estado correctamente normalizado si define $\hat{n}$ correctamente con ese factor adicional.

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