Partícula con espín en campo magnético uniforme

En el texto "Introducción a la Mecánica Cuántica" de Griffiths se afirma lo siguiente: El momento dipolar magnético m → es proporcional a su momento angular de espín S → :

m → = γ S → ;
donde la energía asociada con el par de un dipolo magnético en un campo magnético uniforme B → es
H = − m → ⋅ B →
por lo que el hamiltoniano de una partícula cargada girando en reposo en un campo magnético B → es
H = − γ B → ⋅ S →
Precesión de Larmor : imagina una partícula de espín 1 2 en reposo en un campo magnético uniforme, que apunta en la dirección z
B → = B 0 k ^ .
El hamiltoniano en forma matricial es
H ^ = − γ B 0 S z ^ = − γ B 0 ℏ 2 [ 1 0 0 − 1 ]

Los estados propios de H ^ son los mismos que los de S z ^ :

x +         con energia       mi + = − ( γ B 0 ℏ ) 2
o
x −         con energia       mi − = + ( γ B 0 ℏ ) 2

Luego se afirma: "Evidentemente, la energía es más baja cuando el momento dipolar es paralelo al campo". Supongo que significan que la energía es más baja cuando la partícula está en el estado x + , pero ¿cómo se corresponde la partícula en este estado con el momento dipolar paralelo al campo magnético?

Gracias.

Respuestas (1)

x + es el z estado de giro, porque es el vector propio de σ z con valor propio 1 . Mira la definición del campo magnético: B = B 0 k ^ . Hemos definido el campo magnético apuntando en positivo z dirección, es decir, la misma dirección que el x + girar.

Por lo tanto, el x + corresponde a un momento dipolar con espín paralelo al campo magnético.

De acuerdo, gracias, pero ¿qué significa exactamente que un estado esté en estado de giro z? x + = ( 1 0 ) donde tiene valor propio ℏ 2 ? ¿Es la siguiente interpretación correcta? ¿Significa simplemente que el giro alrededor del eje z puede tomar solo dos valores? ℏ 2 y − ℏ 2 que corresponde al giro en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del z ^ (girar hacia arriba) de modo que el vector apunte hacia arriba del eje z y, respectivamente, gire en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del − z ^ eje (giro hacia abajo) para que el vector apunte hacia abajo en el eje z?
Básicamente, las partículas tienen un momento angular de giro, que se puede medir a lo largo de un cierto eje, por ejemplo, con un aparato de Stern-Gerlach. Cuando mides el giro a lo largo de la z eje de una partícula en el estado x + , por ejemplo, dejándolo pasar a través de un aparato de Stern-Gerlach orientado a lo largo de la z eje, entonces medirás ℏ / 2 . Ese es el significado de la x + estado.
Además, sería cauteloso al buscar una explicación microscópica del giro de una partícula imaginando que la partícula realmente gira alrededor de cierto eje en sentido horario o antihorario. En la mecánica cuántica no relativista, creo que es mejor pensar en el giro como un grado de libertad completamente interno de una partícula puntual, que es fundamentalmente diferente del momento angular orbital asociado con la rotación física de un cuerpo extenso.
Bien gracias por sus respuestas. En su respuesta a mi pregunta original, afirma: "Hemos definido el campo magnético que apunta en el positivo z dirección, es decir, la misma dirección que el x + espín". Por lo tanto, está interpretando el espín cuántico (correspondiente al valor propio positivo) como un vector también en el eje z, esto es ver el espín como una rotación alrededor de un eje, por lo que también lo está viendo en un sentido clásico basado en tu respuesta?
Ningún problema. Aunque no hay una rotación real sobre un eje, aún podemos asociar el giro con una dirección. Puede pensar en esto como solo un identificador del operador de espín correspondiente y el valor propio. Así, por ejemplo, asociamos x + con el + z dirección porque es un vector propio de S z con valor propio ℏ / 2 . Y nos asociaríamos a la − X eje el vector propio de S X con valor propio − ℏ / 2 . ¡Esta es solo una identificación conveniente y no implica ninguna rotación clásica real! Pero sí, tienes razón, la terminología está inspirada en el caso clásico.
Inspirado en hechos reales pero no basado en una historia real, QM es complicado... Pero eso tiene un poco más de sentido, estaba tratando de averiguar cómo exactamente los vectores propios del componente z ( 1 0 ) y ( 0 1 ) corresponden a vectores de rotación hacia arriba y hacia abajo del eje z, pero como dices la dirección se atribuye con analogía al caso clásico.
¡Me alegro de ayudar (un poco)! De acuerdo, entonces cuando usamos vectores de columna como ese, en realidad no hay física para entender; es solo álgebra lineal. Los estados de espín son elementos de un espacio de Hilbert bidimensional. Elegimos (arbitrariamente, por conveniencia) tomar como base el conjunto x + , x − . Estos dos vectores abarcan el espacio, por lo que cualquier estado de espín se puede escribir como una combinación lineal de x + y x − . Entonces, cualquier estado de espín puede representarse en esta base mediante un vector columna de los dos coeficientes de esa combinación lineal. Obviamente los vectores columna para x + y x − son triviales.
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