¿Operador observable en una superposición?

Question

¿Operador observable en una superposición?

jcelios

Probablemente me estoy perdiendo algo obvio y básico aquí, pero no puedo entender ciertos usos de Observables como presentes en tratamientos básicos de Mecánica Cuántica con los que me he encontrado.

\hat{A} | Ψ ⟩ = a | Ψ ⟩

$\hat{A}|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle$

La ecuación anterior implica para mí que un solo automercado da un solo valor propio de $\hat{A}$ .

Sin embargo, los vectores Ket que se componen de superposiciones tienen múltiples valores propios posibles. Lo que me lleva a creer que esa ecuación solo es válida para los autos que son estados base.

Sin embargo, en la ecuación de Schrödinger tenemos un Observable (Hamiltoniano) que actúa sobre Funciones de Onda en el Espacio de Posición que se componen de un número infinito de Estados Base.

En este uso, ¿se supone de alguna manera que cada estado base en la base de posición corresponde a un solo estado propio de energía? (No creo que este sea el caso. Pero, ¿cuál es el punto/resultado de aplicar el hamiltoniano a cualquier función de onda dada entonces?)

De esto surge más confusión porque si la energía se conoce exactamente, ¿no debería haber algún tipo de incertidumbre máxima en el tiempo?

Como pregunta final, ¿hay algún tipo de interpretación útil de multiplicar el autovalor por su valor propio como aparece en la ecuación observable anterior? En todos los tratamientos que he visto, esta multiplicación simplemente se ignora y el valor propio en sí es el único enfoque.

Respuestas (2)

¿Operador observable en una superposición?

joshfísica · Answer 1

Sin embargo, los vectores Ket que se componen de superposiciones tienen múltiples valores propios posibles. Lo que me lleva a creer que esa ecuación solo es válida para los autos que son estados base.

La ecuacion

\begin{aligned} \hat{A} | Ψ ⟩ = a | Ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat A|\Psi\rangle = a|\Psi\rangle \end{align}$ se cumple solo para vectores propios del operador

\hat{A}

$\hat A$ . En general, existe un teorema matemático, el teorema espectral, que dice que para cualquier operador hermitiano (autoadjunto)

\hat{A}

$\hat A$ actuando sobre un espacio de Hilbert

H

$\mathcal H$ , existe una base del espacio de Hilbert compuesta por vectores propios de

\hat{A}

$\hat A$ . Esto nos dice que cualquier vector

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ en el espacio de Hilbert se puede escribir como una combinación lineal de vectores propios de cualquier observable dado. Digamos, por ejemplo, que la base de los vectores propios correspondientes a observable

\hat{A}

$\hat A$ se denota por

{| a_{1} ⟩, | a_{2} ⟩, \dots}

$\{|a_1\rangle, |a_2\rangle, \dots\}$ donde el vector

| a_{i} ⟩

$|a_i\rangle$ tiene valor propio

a_{i}

$a_i$ . Entonces para cualquier estado

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ en el espacio de Hilbert, podemos escribir

\begin{aligned} | ψ ⟩ = \sum_{i} C_{i} | a_{i} ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle = \sum_i c_i|a_i\rangle \end{align}$

¿Se supone de alguna manera que cada estado base en la base de posición corresponde a un solo estado propio de energía?

No. Un estado propio de un operador no es necesariamente un estado propio de otro operador. Sin embargo, si dos operadores conmutan, entonces es posible encontrar una base para el espacio de Hilbert compuesto por vectores que son estados propios de ambos operadores (generalmente los llamamos "estados propios simultáneos" de los dos operadores).

¿Hay algún tipo de interpretación útil de multiplicar el autovalor por su valor propio como aparece en la ecuación observable anterior?

No estoy seguro de lo que está buscando exactamente aquí, pero un hecho es que si $|\Psi\rangle$ satisface la ecuación de valor propio, y si el sistema está preparado en ese estado, entonces una medida del observable $\hat A$ devolverá el valor propio correspondiente con probabilidad $1$ .

Quizás el tercer punto pueda resolverse observando que la multiplicación por un escalar complejo es una relación de equivalencia, por lo que $\lvert \Psi \rangle$ y $a\lvert \Psi \rangle$ son estados fisicamente identicos? Aunque también estoy adivinando qué es lo que se busca.
@ChrisWhite Sí, ese es un buen punto. Supongo que probablemente esté más en línea con lo que quiere el OP. Tal vez consigamos alguna aclaración.
Sí, estaba olvidando estúpidamente el hecho de que multiplicar un vector de estado por un número real no tendrá ningún efecto significativo. También sospecho que el Teorema Espectral es la pieza clave que me faltaba. Aprenderé más al respecto, lo pensaré y luego volveré a esto.
@jcelios Puede encontrar útiles las siguientes publicaciones: physics.stackexchange.com/q/54154 , physics.stackexchange.com/q/74943 , physics.stackexchange.com/q/9551

dave · Answer 2

Como pregunta final, ¿hay algún tipo de interpretación útil de multiplicar el autovalor por su valor propio como aparece en la ecuación observable anterior?

Esta es la matemática que describe la idea de que $\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \langle A \rangle$ es el valor esperado de la cantidad observable asociada con $A$ cuando el sistema está en el estado $\Psi$ .

Usando la expansión de @joshphysic en términos de los vectores propios

⟨ Ψ | A | Ψ ⟩ = \sum_{i j} C_{i} C_{j}^{*} a_{i} a_{j} ⟨ a_{j} | a_{i} ⟩ = \sum_{i} | C_{i} |^{2} a_{i}

$\langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle = \sum_{ij} c_i c_j^* a_i a_j \langle a_j \vert a_i \rangle = \sum_i \vert c_i \vert^2 a_i$ donde surge la expresión final porque la base propia es ortonormal.

La expresión final es solo el promedio ponderado del valor del operador.

¿Operador observable en una superposición?

jcelios

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joshfísica

usuario10851

joshfísica

jcelios

joshfísica

dave

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