Compactación conforme del espacio-tiempo

A menudo (como en el caso de las compactaciones estándar de$\mathbb R^{d,1}$o$\mathrm{AdS}_{d+1}$), la variedad no compacta$M$con el que comenzamos está mapeado al interior de una variedad compacta$\tilde M$que también pasa a ser una variedad con límite. En estos casos, definimos el límite conforme como$\partial\tilde M$como lo indica Ben Crowell.

Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no siempre sucede. Considere, por ejemplo, la proyección estereográfica estándar que mapea$M=\mathbb R^2$sobre$\tilde M=S^2\setminus \{(0,0,1)\}$donde en mi notación estoy tratando la esfera como una subvariedad incrustada de$\mathbb R^3$con polo norte$(0,0,1)$. Nótese, en este caso, que$\tilde M$no es el interior de una variedad compacta con frontera; cuando incluimos el polo norte, obtenemos$S^2$que es una variedad compacta sin límite.

Por el contrario, considere$\mathbb R^{d,1}$con métrica

$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega_{d-1}^2$$ dónde $d\Omega_{d-1}^2$es la métrica en $S^{d-1}$. Dejar $\vec\theta$ser coordenadas en la esfera, entonces el difeomorfismo $$f(t,r,\vec\theta) = (T(t,r,\vec\theta), R(t,r,\vec\theta), \vec\theta)$$ dónde $$\begin{align} T(r,t,\vec\theta) &= \tan^{-1}(t+r) + \tan^{-1}(t-r)\\ R(r,t,\vec\theta) &= \tan^{-1}(t+r) -\tan^{-1}(t-r) \end{align}$$ deja el factor de esfera sin cambios pero mapea todos los $(r,t)$plano al interior de la región triangular en el $(R,T)$plano satisfactorio $$0\leq R \leq \pi, \qquad |T|\leq \pi-R$$ Esta región tiene un límite (los bordes del triángulo) que nos permite definir el límite conforme de $\mathbb R^{d,1}$.

En cuanto a$\Omega^2 = 0$restricción, así es como lo pienso intuitivamente (y bastante impreciso). La nueva métrica$\tilde g$en la variedad compacta está relacionada con la métrica original$g$por el factor conforme:

$$\tilde g = \Omega^2 g$$ Ahora en la variedad original, a medida que avanzas hacia el infinito, $g$permite que las distancias entre puntos sean arbitrariamente grandes. Pero después de la compactación, todos los puntos estarán a una distancia finita unos de otros. Para que esto suceda, las distancias entre los puntos deben multiplicarse por un número cada vez más pequeño a medida que se aleja más y más para que el producto siga siendo finito. El factor $\Omega^2$multiplicando $g$es precisamente lo que hace esto por ti. Esto es más o menos lo que significa la cita cuando dice

Esto refleja la propiedad de una compactación conforme que "lleva el infinito a una distancia finita".

Por cierto, me resultó útil pasar explícitamente por el$\mathrm{AdS}_{d+1}$ejemplo. En particular, puede, por ejemplo, verificar por sí mismo que para el mapeo explícito escrito anteriormente, el factor de conformidad es

$$\Omega(t,r,\vec\theta)^2 = \frac{1}{\frac{1}{4}(1+(r-t)^2)(1+(r+t)^2)}$$ que se desvanece como $r,t\to\infty$

En primer lugar, ¿qué se entiende por límite conforme?

Creo que el límite conforme se define en el material citado, como$\partial \tilde{M}$. Este powerpoint parece confirmar que esta es la definición. En términos más vulgares, creo que se refiere a superficies idealizadas como$\mathscr{I}^+$,$i^0$, etc.

En segundo lugar, ¿por qué debería Ω=0 en el límite conforme?

Creo que las págs. 2-3 (págs. 11-12 en el pdf) de la tesis de maestría explican esto. Es para satisfacer el #2 en la lista de requisitos. La idea general es que, de acuerdo con el principio de correspondencia, se supone que ningún punto en el espacio-tiempo difiere en sus propiedades locales de cualquier otro punto. Si no cumplimos con el requisito #2, entonces un punto P en el límite tendría propiedades especiales, por ejemplo, el espacio de puntos que se encuentran a una distancia afín finita de P tendría una dimensión menor que la dimensión de la variedad.