¿Calcular el tensor métrico a partir de sus vectores Killing?

Esto no puede funcionar en general, ya que hay múltiples que no admiten ningún vector Killing. Tampoco puede funcionar en general porque los vectores Killing no son únicos, si$K$es un vector Killing, entonces también lo es$\alpha K$para$\alpha\in\mathbb{R}$y si$K$y$G$son vectores asesinos, entonces también lo es$K + \alpha G$.

La formula$g^{\mu\nu} = K_i^\mu K_i^\nu$no es invariante bajo tales cambios de base para los vectores Killing de la esfera 2, si elige$R = 2\partial_\phi$en su ejemplo, en cambio, ya no funciona. Entonces, esta es una característica particular de su elección específica de base para el álgebra de los vectores Killing, no una propiedad general de los vectores Killing.

repaso adjunto

Si consideras el álgebra de Lie$\mathfrak{g}$como un espacio vectorial, entonces el álgebra de Lie tiene$\mathfrak{g}$una acción natural en el espacio vectorial$\mathfrak{g}$. Esto se llama la representación adjunta.$\mathrm{ad}_\mathfrak{g}$. Actúa como, por$X, Y \in \mathfrak{g}$,

$$\begin{equation} \mathrm{ad}_X Y = [X, Y]. \end{equation}$$ Esta es una representación del álgebra de Lie debido a la identidad de Jacobi $$\begin{equation} [X, [Y, Z]]+[Y, [Z, X]]+[Z, [X, Y]]=0 \end{equation}$$ porque $$\begin{align} [\mathrm{ad}_X, \mathrm{ad}_Y] Z &= (\mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y ) Z \\ &= [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] \\ &= [[X, Y], Z] \\ &= \mathrm{ad}_{[X, Y]} Z \end{align}$$ según sea necesario.

Killing Form (primera versión)

Puede definir una forma bilineal ( la forma Killing ) en$\mathfrak{g}$como

$$\begin{equation} \kappa(X, Y) = \mathrm{Tr}_\mathfrak{g}( \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y). \end{equation}$$ La traza se está tomando sobre el espacio vectorial.$\mathfrak{g}$. Tenga en cuenta que si$X$conmuta con todos los demás elementos en el álgebra de Lie, entonces$\kappa(X, \cdot)$es degenerado. En particular, esto significa que no podemos usar esta forma Killing para grupos abelianos, y tenemos que encontrar una forma bilineal diferente si quieres una. (Una opción popular es$\mathrm{Tr}(XY)$.) En realidad, podemos ir un paso más allá. Un teorema llamado "Criterio de Cartan" establece que$\kappa$será no degenerado mientras$\mathfrak{g}$es semisencillo. Por lo tanto, para el resto de esta respuesta supondremos que$\mathfrak{g}$es de hecho semi-simple.

Una buena propiedad de la forma Killing es que es invariable bajo la acción conjunta de las entradas.

$$\begin{equation}\label{killinginv} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) + \kappa(X, \mathrm{ad}_Z Y) = 0. \end{equation}$$ Para ver esto, expanda uno de los términos $$\begin{align} \kappa( \mathrm{ad}_Z X, Y) &= \kappa( [Z, X], Y) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_{[Z, X]} \mathrm{ad} ) \\ &= \mathrm{Tr}_\mathfrak{g} ( \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Y - \mathrm{ad}_X \mathrm{ad}_Z \mathrm{ad}_Y). \end{align}$$ Entonces se puede usar la propiedad cíclica de la traza para ver que este término cancelará el otro término, probando el resultado.

De todos modos, calculemos cuál es esta forma bilineal en nuestra base.

$$\begin{equation}\newcommand{\ff}[3]{f^{#1 #2}_{\; \; \; \: #3}} \kappa^{ab} \equiv \kappa(T^a, T^b). \end{equation}$$ Tenga en cuenta que $$\begin{align} \mathrm{ad}_{T^a} \mathrm{ad}_{T^b} T^c &= [T^a, [T^b, T^c]] \\ &= \ff{b}{c}{d}[T^a,T^d] \\ &= \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{e} T^e. \end{align}$$ Si queremos calcular la traza, entonces debemos extraer el$T^c$componente de la combinación lineal anterior de$T^e$, y luego suma sobre todo$c$. Esto significa que $$\begin{equation} \kappa^{ab} = \ff{b}{c}{d} \ff{a}{d}{c}. \end{equation}$$

Los índices involucrados aquí revelan que$\kappa^{ab}$puede pensarse como una especie de métrica con la que podemos subir y bajar. Por ejemplo,

$$\begin{equation} f^{abc} \equiv \kappa^{cd}\ff{a}{b}{d}. \end{equation}$$ Una buena propiedad de$f^{abc}$es totalmente antisimetría. eso ya lo sabemos $$\begin{equation} \ff{a}{b}{c} = -\ff{b}{a}{c} \end{equation}$$ solo de la antisimetría del conmutador. La antisimetría bajo$b \leftrightarrow c$viene dada por la invariancia adjunta de la forma Killing que discutimos previamente, por lo que $$\begin{equation} 0 = \kappa(T^c, [T^a, T^b]) + \kappa([T^a, T^c], T^b) = f^{abc} + f^{acb} \end{equation}$$ como se desee.

Una última cosa buena que quiero decir sobre la forma Killing es que puedes usarla para construir el operador cuadrático Casimir del álgebra de Lie.

$$\begin{equation} C \equiv \kappa_{ab} T^a T^b. \end{equation}$$ (Al igual que con la métrica,$\kappa_{ab}$se define como la matriz inversa de$\kappa^{ab}$.)$C$es conmuta con todos los elementos del álgebra de Lie (en el álgebra envolvente universal) porque $$\begin{align} [C, T_c] &= \kappa_{ab} T^a [T^b, T_c] + \kappa_{ab} [T^a, T_c] T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{a}_{\; \; cd} T^d T^b \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^a T^d + \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} T^d T^a \\ &= \kappa_{ab} f^{b}_{\; \; cd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= f_{acd} ( T^a T^d + T^d T^a) \\ &= 0. \end{align}$$ En la tercera línea cambiamos$a \leftrightarrow b$para la mitad de los términos y usó la simetría de$\kappa_{ab} = \kappa_{ba}$. La línea final se deriva de la completa antisimetría de$f_{abc}$.

(Recuérdese que la completa antisimetría de$f_{abc}$se deduce de ese hecho que$\kappa(X,Y)$es invariante bajo la acción adjunta, AKA$\kappa([Z,X], Y) + \kappa(X, [Z, Y]) = 0$. Por lo tanto, si cocinamos cualquier otra forma bilineal$\kappa'$que es igualmente invariante, entonces$\kappa'_{ab} T^a T^b$también conmutará con el álgebra.)

Relación con la métrica

Para campos vectoriales de espacio-tiempo$u^\mu, v^\mu$, el corchete de mentira es

$$[u, v]^\mu = u^\nu \partial_\nu v^\mu - v^\nu \partial_\nu u^\mu.$$ Resulta que la derivada de Lie de un campo vectorial con respecto a otro es exactamente este conmutador. $$\mathcal{L}_u v = [u, v].$$ Si tiene un conjunto de vectores que se cierran bajo el corchete de mentira, $$[K^i, K^j] = f^{ij}_{\;\; k} K^k$$ luego de la regla del producto de la derivada de Lie, que para dos tensores cualesquiera$A$y$B$ $$\mathcal{L}_u (AB) = (\mathcal{L}_u A) B + A(\mathcal{L}_u B)$$ podemos ver claramente que si definimos la métrica inversa por $$g^{\mu \nu} = \kappa_{ij} (K^i)^{(\mu} (K^j)^{\nu)}$$ luego de la sección anterior, no es difícil mostrar $$\begin{align} \mathcal{L}_{K^k} g^{\mu \nu} = 0 \end{align}$$ porque la métrica es solo el Casimiro cuadrático. (Hay una pequeña arruga, que son los índices de espacio-tiempo, pero si usa la suma simétrica$(\mu \nu)$como arriba, entonces eso se cancela con la antisimetría de$f$.) Por lo tanto, hemos construido explícitamente una métrica para la cual todos$K^i$son vectores de muerte.

Relación con la métrica de OP

Hagamos un ejemplo explícito.

$$\begin{array}{l} K^1=\partial_{\phi} \\ K^2=\cos \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \sin \phi\,\partial_{\phi} \\ K^3=-\sin \phi\,\partial_{\theta}-\cot \theta \cos \phi\,\partial_{\phi}. \end{array}$$ Éstos satisfacen las relaciones de conmutación $$\begin{align} [K^i, K^j] = \epsilon^{ijk} K^k. \end{align}$$ donde abandonaremos momentáneamente la distinción entre índices elevados y reducidos. Por lo tanto $$\begin{align} \kappa^{ab} &= \epsilon^{bcd} \epsilon^{adc} \\ \kappa^{11} &= \epsilon^{1 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= \epsilon^{1 2 3} \epsilon^{1 3 2} + \epsilon^{1 3 2} \epsilon^{1 2 3} \\ &= -1 -1 \\ &= -2 \\ \kappa^{12} &= \epsilon^{2 cd} \epsilon^{1 dc} \\ &= 0 \end{align}$$ Podemos ver eso$\kappa^{ij} = - 2 \delta^{ij}$, que es solo una constante multiplicada por la métrica de OP.

Forma de matar (segunda versión)

Si tus elementos de álgebra de mentira$X \in \mathfrak{g}$se pueden realizar como matrices, entonces también podemos definir otra forma de Matar

$$B(X, Y) = \mathrm{Tr}(XY).$$ Esta forma Killing es más apropiada para trabajar con álgebras de Lie con elementos conmutables.

Esto también es invariante bajo la acción adjunta del álgebra de Lie), es decir, para cualquier$Z \in \mathfrak{g}$,

$$\delta X = [Z, X] , \hspace{1cm} \delta Y = [Z, Y]$$

entonces

$$\begin{align} \delta B(X, Y) &= B(\delta X, Y) + B(X, \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}(\delta X Y) + \mathrm{Tr}(X \delta Y) \\ &= \mathrm{Tr}([Z, X] Y + X[Z,Y] ) \\ &= \mathrm{Tr}( Z X Y - X Z Y + X Z Y - X Y Z) \\ &= 0 \end{align}$$ donde la línea final se deriva de la propiedad cíclica de la traza.