Transformación de simetría en el espacio AdS

En los artículos de AdS/CFT, la acción de la simetría SO(D,2) generalmente se da en el límite donde las transformaciones son solo las transformaciones conformes (Poincaré, escalado y especial) para el espacio minkowskiano D+1.

Me gustaría saber cómo actúan las transformaciones SO (1,2) para un punto arbitrario en AdS, digamos en el sistema de coordenadas

d s 2 = 1 / z 2 ( d z 2 + d X 2 + d y 2 ) .

es posible escribir z ′ = z ( z , X , y ) , X ′ = X ( z , X , y ) y y ′ = y ( z , X , y ) para que la métrica anterior permanezca invariable?

Escribiste una geometría con la euclidiana. ( + + + ) firma que seguramente no puede tener ese grupo de simetría.
Tu espacio es el espacio hiperbólico. H 3 que tiene un alcance mundial S O ( 3 , 1 ) simetría. H 3 podría escribirse como S O ( 3 , 1 ) S O ( 3 ) . H 3 podría considerarse como una versión "euclidiana" de A d s 3
¡DE ACUERDO! echemos d s 2 = 1 / ( z 2 ) ( − d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2 ) que seguramente es A d S 4 ( S O ( 3 , 2 ) ). ¿Puedes escribir las transformaciones para que la métrica permanezca invariable?

Respuestas (2)

Para ver toda la simetría, es mejor ver A d S 4 como una superficie de 4 en un espacio de 5 dimensiones.

Suponemos que las 5 métricas son d s 2 = d X 2 + d y 2 + d z 2 − d t 2 − d tu 2

La superficie de 4 A d S 4 Se define como :

X 2 + y 2 + z 2 − t 2 − tu 2 = − 1

Con esta definición, el conjunto S O ( 3 , 2 ) de simetría, para transformaciones ( X , y , z , t , tu ) → ( X ′ , y ′ , z ′ , t ′ , tu ′ ) es obvio.

Ahora, a partir de la métrica intrínseca de 4 d s 2 = 1 / ( z 2 ) ( + d X 2 + d y 2 + d z 2 − d t 2 ) algunas transformaciones de métricas invariantes son fáciles de ver:

  • Tres traslaciones para las coordenadas. t , X , y
  • Transformación de escala: multiplicando t , X , y , z por un término constante λ
Gracias Trimok! ¿Dónde puedo encontrar transformaciones que NO son TAN fáciles de ver? :)
Esta es una buena pregunta... Si aceptas transformaciones infinitesimales d X , d y , d t → d X ′ , d y ′ , d t ′ , hay un S O ( 2 , 1 ) simetría. Pero probablemente alguien más tendría mejores ideas.

Solo para seguir la respuesta de Trimok, puede encontrar útiles las siguientes referencias:

El primer artículo contiene una discusión sobre la isometría de inversión discreta de AdS, que es crucial para evaluar las integrales a granel asociadas con las funciones de correlación en AdS/CFT. Dado que es una isometría discreta, no existe una forma infinitesimal. El segundo artículo (especialmente la sección 8.1) analiza las isometrías continuas de la métrica, además de la isometría de inversión.

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