¿Cómo y por qué las matrices aleatorias pueden responder a problemas físicos?

La idea básica es que las propiedades estadísticas de los sistemas físicos complejos caen en un pequeño número de clases universales. Un ejemplo muy conocido de este fenómeno es la ley universal implícita en el teorema del límite central donde la suma de un gran número de variables aleatorias pertenecientes a una gran clase de distribuciones converge a la distribución normal. Por favor vea Percy Deift'sartículo para una revisión histórica y motivacional del tema. Por supuesto, uno de los ejemplos más motivadores (mencionado en el artículo de Percy Deift) es la explicación original de Wigner de los espectros de núcleos pesados. Wigner "conjeturó" la universalidad y buscó un modelo que pudiera explicar la repulsión entre los niveles de energía de los núcleos grandes (es poco probable que haya dos niveles de energía cercanos), lo que lo llevó al conjunto ortogonal gaussiano que tiene esta propiedad incorporada. Ahora, el pesado Los elementos de la matriz hamiltoniana de núcleos no son aleatorios, pero dado que, por universalidad, para N grande, la distribución de los valores propios no depende de la distribución de los elementos de la matriz, entonces la distribución de valores propios de la matriz aleatoria se aproxima a la del hamiltoniano.

La respuesta de David Bar Moshe está bien, pero quería entrar en más detalles. La principal razón por la que las matrices aleatorias aparecen en los sistemas dinámicos es porque describen las estadísticas de nivel de los movimientos caóticos clásicos. En los sistemas clásicamente integrables, existe una fórmula semiclásica para el espaciamiento de niveles, determinada por la regla de Bohr-Sommerfeld. Si conoces la energía clásica en función de las variables de acción

conoce los espaciamientos de energía cuántica configurando las variables J para que sean múltiplos enteros de la constante h de Planck.

Esto significa que los niveles cercanos a algún estado de referencia están espaciados según la regla:

Y

Dónde$T_i$es el periodo clásico. Esta regla significa que los niveles se distribuyen más o menos uniformemente, multiperiódicamente, como una superposición de diferentes puntos igualmente espaciados con distancias igualmente espaciadas entre las secuencias igualmente espaciadas. No es difícil de imaginar, solo imagine que un período es muy largo, por lo que los espacios son muy cercanos, y el otro período es corto, por lo que el espacio es grande, y obtiene que los niveles de energía son dos secuencias interpenetrantes uniformes. de energías que yacen una encima de la otra.

Esta imagen integrable es completamente falsa para núcleos complejos, donde los niveles de energía exhiben repulsión de nivel. Esto quiere decir que los niveles no son superposiciones de secuencias equiespaciadas como lo son en el límite clásico de un sistema integrable, sino que debe haber interacciones entre los niveles que los lleve a repelerse, por lo que no quieren estar cerca.

En mecánica clásica, este fenómeno es la destrucción de toros invariantes cuando hay resonancias, y esto lleva a que grandes sistemas se vuelvan caóticos. El comportamiento caótico genérico tiene características universales, y esto es lo que descubrió Wigner. Él razonó que si usted está mirando un sistema hamitloniano caótico, las estadísticas de los niveles cercanos a un nivel dado se mezclarán de una manera diferente al caso integrable. En el caso integrable (como las rotaciones de una molécula rígida, que da niveles de rotación superpuestos al espectro de excitación), los espacios te dicen algo sobre los períodos de los movimientos clásicos. Pero en el caso caótico, no hay períodos, y los detalles del nivel no te dicen nada sobre el sistema (al menos localmente).

Esta es una notable predicción verdadera. Si toma cualquier matriz antigua de tipo rotación, elegida al azar de una distribución de probabilidad (por ejemplo, la distribución uniforme en el grupo, es compacta), dependiendo solo de si está hablando de una gran matriz unitaria, real ortogonal o simpléctica, la los valores propios se distribuirán en diferentes lugares de acuerdo con una densidad que depende de la distribución de probabilidad que elija, pero el espaciado de nivel local tendrá estadísticas que son indistinguibles de las de los sistemas físicos caóticos.

Las predicciones de esta teoría han sido confirmadas por la observación del nivel de repulsión en los núcleos. Esto confirma que el movimiento nuclear es clásicamente caótico (si tiene un análogo clásico) y que la teoría de matrices aleatorias describe tales estadísticas de nivel de sistema caótico.